Формули площі, периметра, об'єму і площі поверхні фігур на одній сторінці

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Площа круга дорівнює πR², довжина кола 2πR. Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на проведену до неї висоту, а площа трапеції півсумі основ, помноженій на висоту. Об'єм циліндра V = πR²H, конус з тими самими R і H має втричі менший об'єм, а об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту. Об'єм кулі дорівнює πR³, помноженому на чотири третіх, а площа сфери 4πR².

Усі ці формули є в довідкових матеріалах НМТ-2026. А от площі квадрата там немає, як немає й периметрів чотирикутників, площі сектора, об'єму куба чи повної поверхні циліндра. У картках такі формули виділено помаранчевим, їх доведеться пам'ятати самому.

Площа трикутника

Формули з першого рядка картки є в довідці, і для будь-якого трикутника їх вистачає. Помаранчеві з них випливають. Катети прямокутного трикутника перпендикулярні, тож кожен із них є висотою до іншого, і площа дорівнює половині добутку катетів. У рівностороннього трикутника всі кути по 60°, тому формула через синус дає a²√3, поділене на 4. Інші формули, зокрема через радіуси вписаного й описаного кіл, зібрано в статті про трикутник на НМТ.

Квадрат, прямокутник і паралелограм

Периметр будь-якого многокутника дорівнює сумі його сторін, і окремих формул периметра чотирикутників у довідці немає. У прямокутника й паралелограма P = 2(a + b), у квадрата P = 4a. Площа квадрата дорівнює a², а через діагональ половині квадрата діагоналі. Докладно про квадрат і прямокутник та паралелограм і ромб написано в окремих статтях із розібраними завданнями ЗНО.

Ромб і трапеція

Квадрат є ромбом з рівними діагоналями, тож довідкова половина добутку діагоналей при d₁ = d₂ дає якраз половину квадрата діагоналі. Ромб водночас є паралелограмом, і з S = ab sin γ при a = b виходить S = a² sin α. Площу трапеції зручно записувати через середню лінію m, яка дорівнює півсумі основ. Тоді S = m · h, а про рівнобічну й прямокутну трапецію докладно йдеться в статті про площу трапеції.

Коло, дуга, сектор і правильний многокутник

Довжину кола й площу круга довідка дає, хоча довжину кола там позначено буквою L. Дуги й сектора немає, але обидві формули виходять із пропорції. Сектор з кутом 90° займає чверть круга, з кутом 120° третину, і дуга становить таку саму частку кола. Площа правильного многокутника дорівнює половині добутку периметра на радіус вписаного кола, а в шестикутника сторона дорівнює радіусу описаного кола. Докладніше про це в статтях про коло, круг і сектор та про правильний многокутник.

Многогранники

Окремих формул для куба й прямокутного паралелепіпеда в довідці немає, але обидва є прямими призмами. Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту, тож об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює abc, а куба a³. Для ребер 2, 3 і 4 це 2 · 3 · 4 = 24. Повна поверхня многогранника складається з бічної поверхні та однієї чи двох основ, і в картках вона позначена буквою S без індексу, як площа сфери в довідці.

Діагональ паралелепіпеда знаходять, двічі застосувавши теорему Піфагора, про це є стаття про прямокутний паралелепіпед і куб. Загальні формули зібрано в статтях про призму й про піраміду.

Циліндр, конус і куля

Бічні поверхні циліндра й конуса в довідці є, а повних немає. До бічної поверхні циліндра додають дві площі основи, до конуса одну. У формулу бічної поверхні конуса входить твірна L, а не висота H. Для конуса з R = 3 і H = 4 твірна дорівнює 5, і плутанина між ними коштує відповіді.

Між циліндром і кулею є красивий зв'язок. Якщо циліндр описано навколо кулі, тобто H = 2R, його бічна поверхня 2πR · 2R дорівнює 4πR², площі сфери. Об'єм кулі при цьому становить рівно дві третини об'єму циліндра, і це відношення знайшов ще Архімед. Інші тіла обертання розібрано в статті про формули тіл обертання, а всі об'єми разом в огляді формул об'ємів тіл.

Що з цього є в довідці НМТ-2026

Розділ «Геометрія» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Уся геометрія довідки вміщується на одній сторінці. Для трикутника там три формули площі, теореми косинусів і синусів, для чотирикутників одна чи дві формули площі, для кола й круга довжина й площа. Розділ про тіла дає об'єми й бічні поверхні прямої призми, правильної піраміди, циліндра й конуса, а також об'єм кулі та площу сфери.

Чого немає, видно з помаранчевих рядків карток. Це периметри чотирикутників, квадрат, дуга й сектор, правильний многокутник, куб і прямокутний паралелепіпед, повні поверхні тіл і зрізаний конус. Що є в довідці з інших тем, розібрано в статті про довідкові матеріали НМТ.

Я раджу знати напам'ять усі формули з карток, і ті, що є в довідці, теж. Довідка зручна, щоб звірити коефіцієнт, скажімо третину в об'ємі конуса. Але якщо шукати в ній кожну формулу, розв'язання щоразу сповільнюється. А помаранчеві формули варто хоч раз вивести самому з довідкових, тоді їх не доведеться зубрити.

Завдання ЗНО-2018 на чотири різні площі

Завдання 24 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Ромб задано стороною й кутом, тому S = 6 · 6 · sin 120° = 18√3, відповідь Д. Синус 120° дорівнює синусу 60°, тобто √3, поділеному на 2. Хто помилково візьме його рівним половині, отримає 18, і таке число теж є серед варіантів. У квадрата сторона дорівнює діаметру вписаного кола, тобто 4, і S = 16, відповідь Б.

У паралелограмі висота відтинає прямокутний трикутник з гіпотенузою 5 і катетом 4, тож вона дорівнює 3. Основа складається з обох відрізків, 4 + 2 = 6, і S = 6 · 3 = 18, відповідь В. Хто помножить висоту лише на відрізок 4, отримає 4 · 3 = 12, тобто варіант А. У прямокутнику менша сторона дорівнює 6 · tg 30° = 2√3, тому S = 12√3, відповідь Г.

Як вибрати формулу за даними

Формулу площі вибирають за тим, що дано в умові. Сторона й висота до неї ведуть до a · hₐ, дві сторони й кут між ними до ab sin γ, діагоналі ромба до половини їхнього добутку.

У перших двох рядках формула трикутника рівно вдвічі менша, бо діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники. Тож досить пам'ятати формули паралелограма. Три сторони без кутів ведуть до формули Герона, а для трапеції потрібні обидві основи й висота.

Шість фігур, для яких треба вибрати формулу

Рисунки виконано в масштабі. У четвертій задачі S означає площу зафарбованого сектора, а відповіді до четвертої й шостої записують без π, тобто після ділення на π.

Відповіді

Якщо в другому вийшло 40, бічну сторону 5 взято за висоту, а 48 у третьому означає, що сторони перемножили без синуса. Відповідь 12 у шостому показує, що у формулу πRL замість твірної 5 підставили висоту 4.

Тести з планіметрії та стереометрії

Перевірити себе на завданнях у форматі НМТ можна в тестах «Трикутник», «Чотирикутники» і «Коло та круг». Для об'ємних тіл є збірник «Стереометрія НМТ» з 90 задачами з відкритою відповіддю. Загальний рівень допоможуть оцінити діагностичні тести з геометрії для учнів з 7 по 11 клас.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Перелік формул довідки звірено з демонстраційним варіантом НМТ-2026, завдання взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2018, а відповіді до всіх задач перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 7 жовтня 2026 року. Помаранчеві позначки в картках відповідають складу довідкових матеріалів НМТ-2026, а що міститиме довідка НМТ-2027, на цю дату ще не визначено.