Площа й периметр квадрата й прямокутника. Серед прямокутників з рівним периметром найбільша площа в квадрата

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Площа прямокутника зі сторонами a і b дорівнює їхньому добутку, S = ab, а периметр дорівнює подвоєній сумі сторін, P = 2(a + b). У квадрата всі сторони рівні, тому S = a² і P = 4a. Діагональ прямокутника знаходять за теоремою Піфагора, вона дорівнює кореню із суми квадратів двох сторін. Діагональ квадрата d = a√2, а площу через діагональ знаходять як d², поділене на 2.

Менш очевидне стосується периметра. Зі шнурка завдовжки 20 см можна викласти прямокутник 1 на 9 см площею 9 см², а можна квадрат 5 на 5 см площею 25 см². Периметр однаковий, а площа квадрата майже втричі більша. Серед усіх прямокутників з рівним периметром найбільшу площу має саме квадрат.

На рисунку зліва прямокутник, справа квадрат, і в обох діагональ розрізає фігуру на два рівні прямокутні трикутники. У прямокутника 6 на 8 см діагональ дорівнює 10 см, бо 6² + 8² = 100. Квадрат зі стороною 5 см має діагональ 5√2 ≈ 7,07 см. Теорему Піфагора й інші формули для трикутників зібрано в статті про трикутник.

Площу квадрата через діагональ я не раджу вчити як окрему формулу. Квадрат діагоналі дорівнює 2a², тож його половина і є площею. Те саме дає формула площі ромба через половину добутку діагоналей, адже квадрат це ромб з рівними діагоналями.

Двадцять сантиметрів шнурка

Якщо периметр дорівнює 20, то сума двох сусідніх сторін дорівнює 10. Прямокутників з цілими сторонами тоді п'ять, і на рисунку їх намальовано в одному масштабі.

Площі по черзі дорівнюють 9, 16, 21, 24 і 25. Що ближчі сторони одна до одної, то більша площа, і найбільша вона в квадрата 5 на 5. Дробові сторони цього не змінюють. Прямокутник 4,5 на 5,5 має площу 24,75, і це все одно менше за 25.

Нижня таблиця показує зворотний бік. Прямокутник площею 36 може мати периметр 74 (сторони 1 і 36), 40 (2 і 18), 30 (3 і 12), 26 (4 і 9) або 24 (квадрат 6 на 6). Коли площа стала, найменший периметр теж у квадрата. Тому паркан навколо квадратної ділянки коротший, ніж навколо витягнутої ділянки тієї самої площі.

На скільки прямокутник програє квадрату

Відповідь дає одна тотожність. Позначимо півсуму сторін через s, а піврізницю через t. Тоді a = s + t, b = s − t, і за формулою різниці квадратів ab = s² − t².

Верхній рисунок показує те саме без алгебри. Від прямокутника 3 на 7 відрізаємо смужку 2 на 3 і кладемо її зверху. Виходить квадрат 5 на 5 без кутика 2 на 2, тому 3 · 7 = 25 − 4 = 21.

Прямокутник програє квадрату з тим самим периметром рівно квадрат піврізниці своїх сторін. Для п'яти прямокутників з периметром 20 програш дорівнює 16, 9, 4, 1 і 0, тобто 4², 3², 2², 1² і 0². Нуль виходить лише тоді, коли сторони рівні. Ту саму задачу можна розв'язати й похідною, як у статті про найбільше й найменше значення функції, але тотожність дає відповідь одразу.

Квадратний метр більший, ніж здається

У метрі 100 см, тому квадрат зі стороною 1 м має площу 100 · 100 = 10 000 см², а не 100 см². Число 100 з'являється, коли площу переводять так само, як довжину. Площа змінюється швидше за сторону. Якщо сторону квадрата подвоїти, площа зросте вчетверо, бо (2a)² = 4a², а сторона, збільшена в 100 разів, дає площу, більшу в 10 000 разів.

Для земельних ділянок рахунок той самий. Сотка це квадрат 10 на 10 м, тобто 100 м², а гектар це квадрат 100 на 100 м, тобто 10 000 м², або 100 соток. Ділянка 40 на 25 м займає 1 000 м², і це рівно 10 соток.

Прямокутник у довідці НМТ-2026

Розділ «Чотирикутники» з довідкових матеріалів НМТ-2026, фрагмент «Прямокутник». Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Для прямокутника довідка дає тільки S = ab. Формул периметра, площі квадрата й діагоналі прямокутника в ній немає. Зате в розділі про прямокутний трикутник є теорема Піфагора, і діагональ з неї виходить в один рядок.

Програма ЗНО з математики (наказ МОН № 1513), на яку спирається НМТ, відносить прямокутник, квадрат та їхні властивості до рівня стандарту. Тож решту формул доведеться пам'ятати самому. Як чотирикутники й коло виглядають у завданнях тесту, показано в огляді кола та чотирикутників на НМТ.

Коло в прямокутнику на ЗНО-2021

Завдання 22 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Коло дотикається до трьох сторін, тому його діаметр MK дорівнює AB, а центр віддалений від AB на радіус. Звідси BM = AK = r і AB = 2r. Периметр ABMK дорівнює 2(2r + r) = 6r, і з рівності 6r = 24 маємо r = 4 см.

Далі допомагає прямокутний трикутник KDC з катетом CD = 8 і гіпотенузою KC = 17. За теоремою Піфагора KD² = 289 − 64 = 225, тож KD = 15. Сторона AD складається з двох відрізків, AK і KD, тому AD = 4 + 15 = 19, а площа прямокутника 8 · 19 = 152 см².

Помилитися тут можна двічі. Хто вважає ABMK квадратом, ділить 24 на 4, отримує сторону 6 і радіус 3, хоча AB удвічі довша за BM. Інші знаходять KD = 15 і беруть його за всю сторону AD, тоді площа виходить 8 · 15 = 120.

Я раджу перед обчисленнями підписати на рисунку кожен відрізок, навіть очевидний. Літери r над BM і AK та 2r над AB одразу показують, що ABMK не квадрат, а сторона AD складається з двох частин.

Шість задач про квадрат і прямокутник

Квадратик біля номера означає квадрат, витягнута рамка означає прямокутник. У четвертій задачі шукайте найбільшу можливу площу, а в п'ятій обидві сторони.

Усі відповіді, крім четвертої, цілі.

Відповіді

Якщо в третій задачі вийшло 100, ви взяли за площу квадрат діагоналі, а площа вдвічі менша. Відповідь 250 у шостій означає, що квадратні метри множили на 100, а не на 10 000.

Тест і флешкартки з чотирикутників

Задачі у форматі НМТ на всі види чотирикутників є в безкоштовному тесті «Чотирикутники». Формули зручно повторювати за флешкартками, а ще більше задач зібрано в PDF-збірнику. Площі інших фігур, від трикутника до кулі, зведено на одній сторінці формул площ і об'ємів.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Задачу взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2021, фрагмент довідки з демонстраційного варіанта НМТ-2026, а всі площі й периметри на рисунках і відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, затверджена наказом МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 7 жовтня 2026 року. Формулу площі прямокутника наведено так, як її подано в довідкових матеріалах НМТ-2026, а що міститиме довідка НМТ-2027, поки не визначено.