Логарифмічна функція та її графік. Десятковий логарифм мільйона дорівнює лише 6

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Логарифмічна функція y = logₐ x, де a > 0 і a ≠ 1, визначена лише для додатних x і набуває всіх дійсних значень. Її графік завжди проходить через точки (1; 0) і (a; 1). При a > 1 функція зростає, при 0 < a < 1 спадає.

Вісь ординат є вертикальною асимптотою графіка, а сам графік симетричний графіку y = aˣ відносно прямої y = x. Зростає логарифм дуже повільно. Для десяткового логарифма lg 10 = 1, lg 1000 = 3, а lg 1 000 000 = 6, і щоб графік lg x піднявся до висоти 10, x має дорівнювати 10¹⁰, тобто десяти мільярдам.

Усі три графіки перетинають вісь x в одній точці (1; 0), бо logₐ 1 = 0 за будь-якої основи. Пунктирна пряма y = 1 перетинає кожен із них там, де x дорівнює основі, бо logₐ a = 1. Тут це точки (2; 1), (10; 1) і (0,5; 1). Двох точок, (1; 0) і (a; 1), досить, щоб за кілька секунд намалювати ескіз графіка будь-якого логарифма.

Графіки log₂ x і log₀,₅ x дзеркальні відносно осі x. Число 0,5 дорівнює 2⁻¹, тому log₀,₅ x = −log₂ x, і, наприклад, log₂ 8 = 3, а log₀,₅ 8 = −3. Серед основ, більших за 1, що більша основа, то пологіший графік праворуч від одиниці. Десятковий логарифм становить лише близько 0,3 від log₂ x, бо lg 2 ≈ 0,301.

Від одиниці до мільйона лише шість поділок

Степені десяти й двох дають готові значення логарифмів. Угорі десяткові логарифми, унизу логарифми за основою 2.

За таблицею lg 100 = 2, lg 0,01 = −2, lg 1 000 000 = 6, log₂ 8 = 3, log₂ 1024 = 10 і log₂ 0,5 = −1. Щоб lg x зріс із 6 до 7, x має збільшитися з мільйона до десяти мільйонів, тобто на 9 000 000. Кожна наступна одиниця висоти вимагає збільшити x удесятеро.

Униз усе відбувається на крихітному відрізку. Ті самі шість поділок, але вниз, графік проходить, поки x зменшується від 1 до 0,000001, тобто менше ніж на одиницю. Усі від'ємні значення lg x припадають на x між 0 і 1, і саме там графік притискається до осі ординат. Чому для основ 10 і e є окремі позначення, пояснює стаття про натуральний і десятковий логарифм.

Де логарифм існує і який у нього знак

Властивості з графіків зручно звести в одну таблицю. У середньому стовпчику основа більша за 1, у правому від 0 до 1.

Перший рядок здається очевидним, але саме його пропускають, коли під логарифмом стоїть вираз. Логарифм від'ємного числа чи нуля не існує, тому lg(−100) не має сенсу, а функція y = lg(x − 3) визначена лише при x > 3.

Знак логарифма теж читається з таблиці. При основі, більшій за 1, логарифм додатний для x > 1 і від'ємний між 0 і 1, а при основі, меншій за 1, навпаки. Останній рядок описує асимптоту. Що ближче x до нуля, то нижче йде графік при a > 1 і то вище при 0 < a < 1, але осі ординат він так і не досягає.

Друга пастка стосується основ, менших за 1. Функція log₀,₅ x спадає, тому з нерівності log₀,₅ x > log₀,₅ 4 випливає 0 < x < 4, а не x > 4. Детальніше про такі нерівності йдеться в статті про логарифмічні нерівності, а правила дій із самими логарифмами зібрано в статті про властивості логарифмів.

Я раджу не заучувати ці вісім рядків окремо. Надійніше щоразу намалювати ескіз через точки (1; 0) і (a; 1), притиснутий до осі ординат. З нього видно і знак, і зростання чи спадання, і те, що x має бути додатним.

Дзеркальна пара 2ˣ і log₂ x

Логарифм за основою 2 показує, в який степінь треба піднести 2, щоб отримати x. Тому функції 2ˣ і log₂ x взаємно обернені, і кожній точці одного графіка відповідає точка другого з переставленими координатами.

Точці (0; 1) графіка 2ˣ відповідає точка (1; 0) графіка логарифма, а точці (2; 4) точка (4; 2). Разом із координатами міняються місцями область визначення й область значень. Показникова функція визначена для всіх x і набуває лише додатних значень, а логарифмічна навпаки. Горизонтальна асимптота y = 0 графіка 2ˣ стає вертикальною асимптотою x = 0 графіка логарифма.

Схожа пара є і в тригонометрії, це синус і арксинус, тільки синус там доводиться розглядати на обмеженому проміжку. Про неї розповідає стаття про обернені тригонометричні функції. У програмі ЗНО з математики загальне означення оберненої функції стоїть окремо від самих функцій.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Функції». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, і в кожній частині окремі колонки для рівня стандарту й тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Логарифмічні функції названо вже в назві рядка, поруч із лінійними, квадратичними, степеневими, показниковими й тригонометричними. У колонках рівня стандарту стоять їхні властивості й графіки, а серед компетентностей вимога будувати графіки логарифмічних функцій і встановлювати властивості функцій, заданих формулою або графіком. А означення функції, оберненої до заданої, стоїть у колонці «Тільки профільний рівень».

Порівняння без калькулятора

Два логарифми з однаковою основою порівнюють за аргументами. Якщо основа більша за 1, більшому аргументу відповідає більший логарифм, якщо менша, то менший. Ще швидше порівняння з нулем, бо знак видно за основою й аргументом одразу.

Завдання 12 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Від'ємний показник означає обернене число, тому a = 0,5⁻¹ = 2. У числа c основа 0,2 менша за 1, а аргумент 5 більший за 1, тож c від'ємне. Точне значення c = −1, бо 0,2⁻¹ = 5. Отримуємо −1 < 0,2 < 2, тобто c < b < a, відповідь А.

Варіант Б виходить, якщо загубити мінус і вважати, що log₀,₂ 5 = 1. Тоді c потрапляє між b і a. Варіант Г з'являється, коли 0,5⁻¹ читають як −0,5, тобто вважають мінус у показнику знаком самого числа.

Яка властивість якому графіку

Завдання 17 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Графік y = log₂ x лежить праворуч від осі y і ніде її не перетинає, бо x > 0, тож 1 відповідає А. Парабола y = x² + 3 має з колом x² + y² = 9 лише одну спільну точку (0; 3). Підстановка дає x⁴ + 7x² = 0, і єдиний корінь цього рівняння x = 0, тож 2 відповідає Г. Косинус набуває і додатних, і від'ємних значень як при додатних, так і при від'ємних x, тому його графік є в усіх чотирьох чвертях, і 3 відповідає В.

Варіанти Б і Д не підходять жодній із трьох функцій. Паралельний осі x графік має лише стала функція, а симетричний відносно початку координат лише непарна. Логарифм не може бути непарним уже тому, що не визначений для від'ємних x, а x² + 3 і cos x парні. З колом радіуса 3 графік логарифма має дві спільні точки, тому Г йому теж не підходить.

Шість запитань до графіка

У третьому порахуйте цілі числа з області визначення функції, а в п'ятому визначте, скільки з чотирьох чисел від'ємні.

Відповіді

Якщо в четвертому вийшло 2, ви вважали log₀,₅ x зростаючою і взяли лівий кінець відрізка, а −3 у шостому з'являється, коли нулю прирівнюють аргумент, а не сам логарифм. Відповідь 3 у п'ятому означає, що log₀,₃ 0,2 зараховано до від'ємних, хоча основа й аргумент тут обидва менші за 1, і логарифм додатний.

Більше задач на функції та графіки

Задачі на графіки й властивості функцій у форматі НМТ є в безкоштовному тесті «Функціональна залежність та елементарні функції». Означення зручно повторювати за флешкартками, а для письмової практики є PDF-збірник і тренажер «Функції». Як тема функцій виглядає на тесті загалом, показує огляд функцій і графіків на НМТ, а логарифми як числа розібрано в статті про логарифми та степені на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Обидва завдання взято з додаткової сесії ЗНО-2021 і звірено з ключами УЦОЯО, а значення в таблицях, точки на графіках і відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма зовнішнього незалежного оцінювання з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 7 жовтня 2026 року. Властивості логарифмічної функції від формату іспиту не залежать, а що саме перевірятиме НМТ-2027 з математики, на цю дату не визначено.