Натуральний і десятковий логарифм. Число e виникає зі складних відсотків

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Десятковий логарифм lg x це логарифм за основою 10, а натуральний ln x це логарифм за основою e, де e ≈ 2,71828. Тому lg 1000 = 3, бо 10³ = 1000, а ln e = 1. Від одного до іншого переходять діленням, lg x дорівнює ln x, поділеному на ln 10 ≈ 2,3026.

Менш очікуване те, звідки взялося саме число e. Його знайшли не в геометрії, як π, а в задачі про відсотки. Якщо покласти 1000 грн під 100 % річних і нараховувати відсотки дедалі частіше, сума за рік зростає, але ніколи не дійде до 2718,29 грн.

Для степенів десятки lg дорівнює показнику, тому lg 0,01 = −2. З ln те саме, тільки зі степенями числа e, а логарифм одиниці дорівнює нулю за будь-якої основи.

Формула внизу це перехід до нової основи. За нею lg 2 дорівнює ln 2 ≈ 0,6931, поділеному на 2,3026, тобто приблизно 0,301. Решту правил, однакових для lg, ln і будь-якої іншої основи, зібрано в статті про властивості логарифмів.

Як 1000 гривень перетворюються на 2718

Візьмемо 1000 грн під 100 % річних. Якщо відсотки нараховують раз на рік, наприкінці буде 2000 грн. Якщо двічі, то за перше півріччя додається 50 %, і друге починається вже з 1500 грн, тож разом виходить 2250 грн. Щомісячне нарахування дає 2613,04 грн, а щоденне 2714,57 грн.

Перехід від одного нарахування на рік до двох додає 250 грн, а від щоденного до щохвилинного лише 3,71 грн. Щохвилинне нарахування вже до копійки збігається з межею. Межу виразу з другого стовпчика позначають буквою e, тому внизу третього стоїть 1000 · e. Задачу про таке нарахування розглядав ще Якоб Бернуллі у 1683 році.

За звичайних ставок межа теж є. Під 10 % річних навіть найчастіше нарахування дає за рік лише 10,52 %, бо e в степені 0,1 приблизно дорівнює 1,1052. Як рахувати складні відсотки в реальних задачах, пояснює стаття про складні відсотки.

Натуральний логарифм у довіднику НМТ

У розділі «Логарифми» довідкових матеріалів НМТ-2026 немає ні lg, ні ln, лише загальні формули. Натуральний логарифм і число e з'являються в довіднику в розділах про похідну і про первісну.

Розділ «Похідна функції» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Похідна eˣ дорівнює самій eˣ, а похідна ln x дорівнює x⁻¹. З іншими основами так не виходить. Похідна 2ˣ дорівнює 2ˣ · ln 2, тобто приблизно 0,693 · 2ˣ, і цієї формули в довіднику немає. Основа e саме та, за якої зайвий множник дорівнює одиниці, і в цьому сенсі логарифм за нею справді натуральний.

Розділ «Первісна функції та визначений інтеграл» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Первісна для x⁻¹ записана з модулем, ln |x| + C. Функція x⁻¹ існує і для від'ємних x, а логарифм від'ємного числа ні, тому без модуля формула не працювала б на від'ємній півосі. А площа під графіком x⁻¹ на відрізку від 1 до e дорівнює ln e − ln 1, тобто рівно 1.

Два графіки, дзеркальні відносно y = x

Функції eˣ і ln x взаємно обернені. Якщо e в степені a дорівнює b, то ln b = a, тож кожна точка одного графіка має дзеркальну пару на другому. Точці (0; 1) відповідає (1; 0), а точці (1; e) точка (e; 1).

Кольоровим пунктиром показано дотичні в точках (0; 1) і (1; 0). Обидві паралельні прямій y = x, бо похідна eˣ у нулі дорівнює 1 і похідна ln x в одиниці теж. Двійка чи трійка в основі такого не дають. Графік 2ˣ перетинає вісь ординат з нахилом приблизно 0,69, а 3ˣ приблизно 1,1, і число e між 2 і 3 стоїть рівно там, де нахил дорівнює одиниці.

Скільки цифр у числі 2¹⁰⁰

Десятковий логарифм зручний тим, що й система числення в нас десяткова. Порівняйте lg 2 ≈ 0,301, lg 20 ≈ 1,301 і lg 2000 ≈ 3,301. Дробова частина однакова, а ціла на одиницю менша за кількість цифр.

Звідси правило для будь-якого натурального числа. Кількість його цифр дорівнює цілій частині lg плюс один. Для 2¹⁰⁰ маємо 100 · lg 2 ≈ 30,103, тому в цьому числі 31 цифра, і саме число рахувати не треба.

Дробова частина логарифма теж працює. Якщо піднести 10 до степеня 0,103, вийде приблизно 1,27, тому 2¹⁰⁰ ≈ 1,27 · 10³⁰, а точне значення починається з 1 267 650. У старих таблицях логарифмів друкували лише дробові частини, бо цілу частину визначає кількість цифр.

Що з цього знадобиться на тесті

Судячи з довідника, на НМТ натуральний логарифм потрібен насамперед у похідних і первісних. Тому я раджу тренувати його там, де він працює, у завданнях на похідну й інтеграл. Наближені значення на кшталт ln 2 ≈ 0,693 я б для тесту не заучував, а от lg 1000 = 3, ln e = 1 і ln 1 = 0 мають рахуватися без паузи.

У похідних властивості логарифма теж працюють. Похідна ln 3x дорівнює тому самому x⁻¹, бо ln 3x = ln 3 + ln x, а ln 3 це стала. Зайва трійка, то в чисельнику, то в знаменнику, трапляється тут в учнівських розв'язках постійно.

Як похідна й інтеграл виглядають на тесті загалом, описано в огляді похідної та інтеграла на НМТ. А те, що первісна для x⁻¹ саме ln |x|, перевіряють диференціюванням, і цей прийом показано в статті про первісну й інтеграл через похідну.

Порахуйте lg, ln і кількість цифр

У четвертому знайдіть кількість цифр числа, а в п'ятому значення похідної в точці 2.

Відповіді

Якщо в третьому вийшло 27 або ln 27, ви поділили 81 на 3 під логарифмом. Тут ділять самі логарифми, а ln 81 = 4 ln 3. Відповідь 15 у четвертому означає, що загубилася одиниця з правила про кількість цифр.

Тест на похідну і флешкартки з логарифмів

До теми «Показникові та логарифмічні вирази» на сайті є безкоштовний тест, колода флешкарток і PDF-збірник. Для похідної є окремий тест «Похідна та її зміст». Якщо ж сам логарифм поки не дуже зрозумілий, почніть зі статті про логарифми через степені.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Формули взято з довідкових матеріалів НМТ-2026, а таблицю відсотків, кількість цифр і відповіді до всіх вправ ми перевірили обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями і довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 6 жовтня 2026 року. Формули з ln і e наведено за довідковими матеріалами НМТ-2026; якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.