Формула складних відсотків. Під 10 % річних вклад за 7 років майже подвоюється

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Складні відсотки нараховують на всю суму, що вже є на рахунку, разом із відсотками за попередні роки. Тому під 10 % річних вклад щороку множиться на 1,1, а за n років на 1,1 в n-му степені. Прості відсотки рахують лише від початкової суми, і вклад росте рівними кроками.

10 000 грн під 10 % річних за 7 років перетворюються на 19 487,17 грн, майже вдвічі більше. Сім разів по 10 % ніби мали б дати 70 %, а дають майже 95 %.

У верхній рамці формула складних відсотків. S означає суму в кінці строку, P початкову суму, r річну ставку у відсотках, n кількість років. У нижній рамці прості відсотки з тими самими числами, і за 7 років виходить лише 17 000 грн, на 2 487,17 грн менше.

У договорах вкладів таке нарахування називають капіталізацією відсотків. Податків та інфляції формула не враховує, тож це розрахунок, а не прогноз для конкретного вкладу.

Звідки в цій формулі степінь

За перший рік 10 000 грн перетворюються на 11 000 грн, і тут обидва способи збігаються. На другий рік 10 % рахують уже від 11 000 грн. Це 1 100 грн, а не 1 000, тож наприкінці другого року на рахунку 12 100 грн.

Інакше кажучи, 10 000 помножили на 1,1, а потім ще раз на 1,1. Кожен рік додає ще один такий множник. За сім років їх сім, звідси й сьомий степінь. Вираз у дужках це ставка, перетворена на множник. Для 7 % він дорівнює 1,07, а якщо ціна щороку падає на 10 %, множником буде 0,9.

Десять років на одному графіку

Помаранчева лінія показує складні відсотки, синя прості. Після першого року вони збігаються, після другого розходяться лише на 100 грн. На строку в рік чи два складні відсотки майже не відрізняються від простих, і різниця стає помітною лише згодом.

Через десять років за простими відсотками на рахунку 20 000 грн, за складними 25 937,42 грн. Ще показовіше порівняти дві половини строку. За перші п'ять років вклад виріс на 6 105,10 грн, а за наступні п'ять на 9 832,32 грн, хоча ставка весь час однакова. Другі п'ять років приносять у 1,61 раза більше, бо 1,1⁵ ≈ 1,61, і це можна перевірити калькулятором.

За скільки років сума подвоїться

На це питання відповідає правило 72. Поділіть 72 на ставку, і отримаєте приблизну кількість років до подвоєння. Під 10 % виходить 7,2 року, що добре сходиться з нашими 19 487 грн за 7 років. Під 6 % сума подвоїться приблизно за 12 років, і калькулятор це підтверджує, бо 1,06¹² ≈ 2,012.

У другому рядку таблиці правило, у третьому точний строк, округлений до десятих. Найточніше правило працює біля 8 %, де 1,08⁹ ≈ 1,999. Для великих ставок воно помітно занижує строк. Число 72 зручне, бо ділиться на 2, 3, 4, 6, 8, 9 і 12, а для ставок від 6 до 12 % помиляється не більше ніж на 0,12 року, тобто приблизно на півтора місяця.

З усієї теми для дорослого життя я б залишив саме це правило. Формулу через кілька років після школи забувають, а поділити 72 на ставку можна в голові. Воно працює для всього, що щороку росте на той самий відсоток. Наприклад, за інфляції 8 % на рік ціни подвоюються приблизно за 9 років.

Якщо відсотки нараховують щомісяця

Ставку 10 % річних можуть нараховувати раз на рік, а можуть щомісяця, по одній дванадцятій від 10 %, тобто приблизно по 0,83 %. Тоді вже в лютому відсотки рахують від суми, до якої додано січневі, і за рік набігає трохи більше. У таблиці m означає кількість нарахувань за рік.

Щомісячне нарахування дає 10,47 % за рік, і з 10 000 грн виходить 11 047,13 грн, а не 11 000. Що частіше нараховують, то більше, але приріст швидко згасає. Навіть щоденне нарахування піднімає річний приріст лише до 10,52 %, а якщо нараховувати нескінченно часто, множник наближається до числа e в степені 0,1, і це ті самі 10,52 %. Звідки береться число e, пояснює стаття про натуральний і десятковий логарифм.

Окремого рядка про складні відсотки в програмі немає

Шапка таблиці й рядок про відсотки з програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Числа і вирази». Джерело: testportal.gov.ua.

Програма ЗНО, за якою укладають і завдання НМТ, згадує означення відсотка, правила відсоткових розрахунків і основні задачі на відсотки. Про складні відсотки в цьому рядку ні слова. Проте кожна задача, де відсоток змінюється двічі, вже про них.

Ціна, що зросла на 10 %, а потім ще на 20 %, множиться на 1,1 і на 1,2, тобто на 1,32. Разом це 32 %, а не 30 %. Тому я не вважаю складні відсотки окремою темою. Кожну зміну перетворюють на множник, а множники перемножують.

Як працювати з однією зміною, пояснює стаття про відсотки, а з кількома поспіль стаття про те, на скільки відсотків одне число більше за інше.

Вклад як геометрична прогресія

Суми на рахунку рік за роком утворюють геометричну прогресію зі знаменником 1,1, а за простих відсотків виходить арифметична з різницею 1 000 грн. Формула складних відсотків це формула n-го члена геометричної прогресії, тільки сума через n років має номер n + 1, бо першою стоїть початкова сума. Обидві прогресії докладно розібрано в статті про прогресії на НМТ.

Якщо ж питають, через скільки років сума досягне певного рівня, виходить показникова нерівність, наприклад 1,1ⁿ ≥ 2. Її розв'язують підбором або логарифмуванням, як у статті про показникові рівняння й нерівності. Тут відповідь n = 8, бо 1,1⁷ ще трохи менше за 2.

Сьомий степінь без калькулятора

На НМТ калькулятора немає, і піднести 1,1 до сьомого степеня доведеться вручну. Це кілька хвилин і ризик помилитися з комою. Я б так не робив.

У тестових задачах числа зазвичай підбирають так, щоб степінь рахувався в один рядок, наприклад 1,1² = 1,21, 1,2² = 1,44 або 0,9² = 0,81. Якщо ж степінь великий, спершу подивіться на варіанти відповідей, бо часто досить оцінки. З правила 72 видно, що 1,1⁷ не дотягує до 2, тож через 7 років на рахунку буде трохи менше ніж 20 000 грн. А варіант 17 000, якщо він є серед відповідей, можна відкинути одразу, бо це прості відсотки.

Шість рядків, у яких бракує одного числа

У кожному рядку відомі три величини з чотирьох, знайдіть четверту. Ставка зі знаком мінус означає, що сума щороку зменшується. У четвертому рядку шукайте найменше ціле n, а в шостому скористайтеся правилом 72.

Відповіді

Якщо в другому вийшло 10 083,33, ви поділили 12 100 на 1,2, тобто порахували прості відсотки. Та сама помилка дає 8,32 % у третьому. А 40 000 у п'ятому означає, що другі 10 % відняли від початкової суми, хоча їх беруть від уже зменшеної.

Ще задачі на відсотки й прогресії

Безкоштовний тест «Відношення, пропорції та відсотки» і тренажер «Відсотки» допоможуть набити руку на множниках. Зв'язок із прогресіями можна перевірити в тесті «Числові послідовності. Прогресії».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Фрагмент програми взято з офіційного документа МОН на testportal.gov.ua, а суми в прикладах і вправах перераховано до копійки окремим обчисленням.

Офіційні джерела

• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 6 жовтня 2026 року. Задачі на відсотки входять до чинної програми ЗНО, за якою укладають НМТ, а чи зміниться програма для НМТ-2027, поки не визначено.