Таблиця квадратів, кубів і степенів. Квадрат числа, що закінчується на 5, рахують за секунду

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Квадрати чисел від 11 до 25 дорівнюють 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576 і 625. Куби чисел від 1 до 10 дорівнюють 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 і 1000. Повну таблицю квадратів від 10 до 99, куби до 20 і степені чисел 2, 3, 5 і 10 зібрано нижче.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 таблиця квадратів закінчується на 49. Квадрати від 50 до 99, куби й степені на тесті доведеться рахувати самому. Найшвидше це виходить із числами на 5. Щоб піднести до квадрата 65, множать 6 на 7 і дописують 25, тож 65² = 4225.

Рядок дає десятки, стовпчик одиниці. Наприклад, 57² стоїть на перетині рядка 50 і стовпчика +7, це 3249. У помаранчевому стовпчику квадрати чисел на 5, і кожен із них закінчується на 25. Товста лінія після рядка 40 показує, де обривається таблиця з довідки.

Квадратів від 1 до 9 тут немає, їх і так видно на діагоналі звичайної таблиці множення.

Деякі числа трапляються в кількох таблицях одразу. Число 729 є серед квадратів, серед кубів і серед степенів трійки, бо 729 = 27² = 9³ = 3⁶. Так само 64 = 4³ = 2⁶, а 1024 = 32² = 2¹⁰. Такі збіги допомагають звести степені до однієї основи, а правила дій зі степенями зібрано в статті про степінь і його властивості.

Що дає довідка НМТ, а що доведеться рахувати

Розділ «Таблиця квадратів від 10 до 49» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Таблиця в довідці побудована так само, десятки в рядках, одиниці в стовпчиках. Квадрат 37 стоїть на перетині рядка 3 і стовпчика 7, це 1369. Але рядків лише чотири, тож 52² чи 87² там немає.

Розділ «Степені» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Розділ про степені містить означення й правила дій, але жодного готового значення. Що 2¹⁰ = 1024, а 3⁵ = 243, доведеться пам'ятати або порахувати на чернетці. Що ще є в довідці й чого там бракує, ми розбирали в статті про довідкові матеріали НМТ.

Звідки береться прийом для чисел на 5

Число, що закінчується на 5, можна записати як 10n + 5, де n означає кількість десятків. Для 65 маємо n = 6. Далі працює формула квадрата суми.

Доданок 100n(n + 1) це добуток n(n + 1) з двома нулями в кінці, а на місце цих двох нулів стає 25. Тому прийом працює для будь-якого числа на 5, зокрема тризначного. Підходить він і для десяткових дробів. Скажімо, 7,5² = 56,25, бо 75² = 5625, а знаків після коми стає вдвічі більше.

Квадрати чисел поруч із круглими

Якщо число відрізняється від круглого на одиницю чи дві, його квадрат рахують за формулою квадрата суми або різниці. Головне не загубити подвоєний добуток посередині. Як влаштовані ці формули й на чому в них помиляються, пояснює стаття про формули скороченого множення.

Останній рядок корисний, коли сусідній квадрат уже відомий. Від 25² до 26² треба додати 25 і 26, виходить 676. Так само 31² = 900 + 30 + 31 = 961.

На 2, 3, 7 і 8 квадрат не закінчується

Остання цифра квадрата залежить лише від останньої цифри числа. Перебравши десять варіантів, бачимо, що квадрат цілого числа закінчується тільки на 0, 1, 4, 5, 6 або 9.

На тесті це знадобиться в двох випадках. Якщо в задачі з гарною відповіддю дискримінант вийшов 1237, цілого кореня з нього не буде, і краще одразу перерахувати. А корінь із точного квадрата можна знайти без таблиці. Число 7056 закінчується на 6, тому корінь закінчується на 4 або 6, а з 80² = 6400 і 90² = 8100 видно, що це 84 або 86. Оскільки 85² = 7225 більше за 7056, корінь дорівнює 84.

З кубами ще простіше. Різні цифри дають різні закінчення кубів, тож остання цифра куба одразу підказує останню цифру кореня. Місцями міняються тільки 2 і 8, а також 3 і 7, ці клітинки виділено помаранчевим. Число 13 824 закінчується на 4, і між 20³ = 8000 і 30³ = 27 000 підходить тільки 24. Докладніше про такі корені в статті про корінь n-го степеня.

Цілі числа між двома коренями

Завдання 17 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Таблиця квадратів тут працює навпаки. Додатне ціле n лежить між √8 і √81 тоді, коли n² лежить між 8 і 81. Підходять квадрати 9, 16, 25, 36, 49 і 64, тобто числа від 3 до 8, і їх шість. Відповідь В.

Число 9 до інтервалу не входить, бо дужка кругла, хоча √81 = 9 ціле. Хто цього не помітив, рахує від 3 до 9 і обирає Б. Г виходить, якщо округлити √8 до 3 і викинути трійку як кінець інтервалу. Д з'являється, якщо замість кореня поділити 8 на 2, тоді інтервал починається з 4 і цілих чисел у ньому чотири.

Порівнювати квадрати замість самих коренів можна й у нерівностях, якщо обидві частини невід'ємні. Решту правил для коренів зібрано в статті про квадратні корені та їх властивості.

Скільки квадратів варто знати напам'ять

Я раджу знати напам'ять квадрати до 25. Саме вони постійно виринають у теоремі Піфагора, дискримінантах і коренях, і їх треба впізнавати в обидва боки. Побачив 576, згадав 24. Квадрати від 26 до 99 швидше порахувати прийомами вище, ніж зазубрювати, тим паче що до 49 їх дає довідка. З кубів вистачить перших десяти, зі степенів двійки ряду до 1024.

Вісім обчислень без калькулятора

Перші п'ять порахуйте без таблиці. У шостому і сьомому знайдіть корінь, а у восьмому порахуйте, скільки цілих n задовольняють нерівність.

Усі відповіді цілі, крім третьої, де вийде десятковий дріб.

Відповіді

Якщо в четвертому вийшло 3661, а в п'ятому 9901, ви забули подвоїти добуток посередині. Відповідь 10 у восьмому означає, що ви зарахували зайве число 3 або 13, хоча 3² = 9 менше за 15, а 13² = 169 більше за 150.

Тренажер і тест на корені та степені

Обчислення зі степенями й коренями можна відпрацювати в тренажері «Степені, корені, логарифми». Перевірити себе на завданнях у форматі НМТ допоможе безкоштовний тест «Ірраціональні вирази».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2020, фрагменти довідки з демонстраційного варіанта НМТ-2026, а кожне число в таблицях і відповідях перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua

Текст підготовлено 6 жовтня 2026 року. Таблиця квадратів від 10 до 49 була в довідкових матеріалах НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.