Формули скороченого множення. Чому сума кубів розкладається на множники, а сума квадратів ні

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Формул скороченого множення сім. Три з них для квадратів, а саме квадрат суми, квадрат різниці й різниця квадратів. Ще чотири для кубів, це куб суми, куб різниці, сума кубів і різниця кубів. Кожну формулу читають в обидва боки. В один бік вона розкриває дужки, в інший розкладає вираз на множники.

Суми квадратів у цьому списку немає. Вираз a² + b² на множники не розкладається, на відміну від a³ + b³, і причину видно з однієї підстановки. А в довідкових матеріалах НМТ-2026 надруковано лише три формули з семи. Жодної формули з кубами там немає.

Чотирьох формул у помаранчевих рамках у довідці немає, їх доведеться пам'ятати або швидко виводити.

Три формули з довідки й чотири, які треба знати самому

Розділ «Формули скороченого множення» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Довідка записує різницю квадратів одразу як розклад на множники, а квадрати суми й різниці як розкриття дужок. Щоб згорнути тричлен x² − 6x + 9 у (x − 3)², ці формули доведеться читати справа наліво.

Шапка таблиці й рядок про вирази та їх перетворення з програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Числа і вирази». Джерело: testportal.gov.ua.

Програма ЗНО, за якою складають і НМТ, називає формули скороченого множення одним рядком, без переліку, а поруч ставить розклад многочлена на множники. Яких саме формул це стосується, програма не уточнює. Я виходжу з того, що на тесті можуть знадобитися всі сім, а не лише три з довідки. Більше про тотожні перетворення є в статті про алгебраїчні вирази.

Квадрат суми можна намалювати

Квадрат зі стороною a + b ріжеться на чотири частини. Це квадрат a², квадрат b² і два однакові прямокутники зі сторонами a і b, звідки й береться подвоєний добуток 2ab.

Хто пише (a + b)² = a² + b², той просто викидає обидва прямокутники. На заняттях ми бачимо цю помилку частіше за всі інші в темі. На числах вона помітна одразу, бо (10 + 3)² = 169, а 10² + 3² дає лише 109. Різниця 60 дорівнює якраз двом прямокутникам 10 · 3.

Квадрат різниці влаштований так само, тільки подвоєний добуток віднімають. А в різниці квадратів подвоєних добутків немає зовсім, бо під час множення (a − b)(a + b) доданки −ab і +ab знищують один одного.

З яких помилок складено хибні варіанти

Завдання 10 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Добуток a(a + 2b) дорівнює a² + 2ab, квадрат суми дає a² + 2ab + b², і після віднімання лишається −b². Правильна відповідь В.

Інші варіанти показують, що буває, коли мінус перед дужкою змінює знак не всім доданкам. Якщо змінити знак тільки в a², вийде А. Якщо не змінити знак у 2ab, вийде Б, а якщо в b², вийде Д. Варіант Г дає помилка з попереднього розділу, коли квадрат суми записали як a² + b².

Завдання 12 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Перший доданок тут сам є квадратом суми, а 9x² це квадрат 3x. Тому працює різниця квадратів, (x + y − 3x)(x + y + 3x), і після зведення подібних маємо (−2x + y)(4x + y). Це варіант В.

Варіант А виходить, якщо вважати 9x² квадратом 9x, тобто забути добути корінь з дев'яти. Г і Д це квадрати двох правильних дужок. Таку відповідь дає той, хто плутає різницю квадратів з квадратом суми чи різниці. Варіант Б правильно розкладає інший вираз, (x − y)² − 9x², і його обирає той, хто загубив знак перед y.

Завдання 14 з демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

За формулою різниці квадратів чисельник дорівнює (2x − 5)(2x + 5), а знаменник це (2x − 5)(2x − 5). Скорочуємо один спільний множник і отримуємо дріб з варіанта А.

Одиницю з варіанта Б отримує той, хто прийняв 4x² − 25 за квадрат різниці. Тоді чисельник і знаменник збігаються. В з'являється, якщо забути, що знаменник у квадраті, і скоротити 2x − 5 повністю. Г означає, що в чисельнику загубили множник 2x + 5.

Скорочувати можна лише множники, тому розклад завжди йде першим. Чому доданки скорочувати не можна, пояснює стаття про скорочення дробів. Так само розкладають знаменники в дробово-раціональних рівняннях, перш ніж шукати спільний знаменник.

Що покаже підстановка a = −b

Підставимо в суму кубів a = −b. Вийде (−b)³ + b³, тобто −b³ + b³ = 0. За теоремою Безу многочлен, який перетворюється на нуль при a = −b, ділиться на a + b без остачі. Тому a + b обов'язково є множником суми кубів.

З квадратами так не вийде. Сума (−b)² + b² дорівнює 2b², і нулем вона стає лише при b = 0. Узагалі a² + b² дорівнює нулю тільки тоді, коли обидва числа нулі. А будь-який множник на зразок a + b чи a − 3b сам обертається на нуль при відповідному a, тож у суми квадратів такого множника бути не може.

Множення дужок на картинці показує, навіщо в другій дужці стоїть −ab. Саме завдяки йому всі середні доданки взаємно знищуються. Вираз a² − ab + b² називають неповним квадратом різниці, і на заняттях його регулярно плутають з (a − b)². Але посередині тут ab, а не 2ab, і далі на множники він не розкладається з тієї самої причини, що й сума квадратів.

Те саме правило працює для будь-якого непарного степеня. Сума п'ятих степенів ділиться на a + b, бо (−b)⁵ = −b⁵. А сума четвертих степенів на a + b не ділиться, бо при a = −b дає 2b⁴.

Куби можна не зубрити

Я не раджу вчити чотири кубічні формули як вірш. Куб суми виводиться секунд за тридцять, якщо (a + b)² ще раз помножити на a + b. Коефіцієнти виходять 1, 3, 3, 1, а в кубі різниці знаки чергуються, починаючи з плюса.

Для суми й різниці кубів досить пам'ятати знаки. У першій дужці той самий знак, що й між кубами, посередині другої протилежний, а b² у кінці завжди з плюсом. Якщо сумніваєтеся, перемножте дужки. При правильних знаках середні доданки зникнуть, як на картинці вище.

Множення в умі за тими самими формулами

Різниця квадратів перетворює незручне множення на зручне. Якщо два множники стоять на однаковій відстані від круглого числа, їхній добуток дорівнює квадрату цього числа мінус квадрат відстані.

Третій рядок цікавий окремо. Цифри числа 1331 повторюють коефіцієнти 1, 3, 3, 1 з формули куба суми, бо 11 це 10 + 1. Так само 11² = 121 повторює коефіцієнти квадрата суми.

Квадрати чисел від 50 до 99 зручно рахувати через квадрат суми чи різниці, а готову таблицю квадратів і кубів ми виклали окремо. Без різниці квадратів не обходиться й звільнення від кореня в знаменнику дробу, а самі дії з коренями описано в статті про квадратні корені та їх властивості.

Шість виразів, у яких відповідь ціле число

Перші два приклади рахуються в умі. У п'ятому й шостому окремо a і b шукати не треба.

Якщо в третьому у відповіді лишився x, перевірте квадрат різниці.

Відповіді

Якщо в п'ятому вийшло 49, ви прирівняли a² + b² до квадрата суми. Схожа помилка в шостому дає 125 замість 35.

Тест, флешкартки й тренажер з многочленів

На сайті є безкоштовний тест «Цілі раціональні вирази», колода флешкарток і PDF-збірник з цієї теми. Якщо розкриття дужок поки йде повільно, допоможе тренажер «Одночлени і многочлени».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО та демонстраційного варіанта НМТ-2026 на testportal.gov.ua, а хибні варіанти й відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 6 жовтня 2026 року. Формули скороченого множення входять до чинної програми ЗНО, за якою складають НМТ, а чи зміняться програма й довідкові матеріали для НМТ-2027, поки не визначено.