Скорочення дробів і спільний знаменник, який не завжди дорівнює добутку знаменників

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Скоротити дріб означає поділити чисельник і знаменник на одне й те саме число, і значення дробу від цього не змінюється. Найшвидше ділити відразу на їхній найбільший спільний дільник, НСД.

Спільний знаменник найзручніше брати рівним найменшому спільному кратному знаменників, НСК. Для 6 і 8 це 24, хоча добуток знаменників дорівнює 48. Порівнювати дроби можна через спільний знаменник або навхрест, коли чисельник кожного дробу множать на знаменник іншого.

Добуток знаменників більший за найменший спільний знаменник рівно в стільки разів, скільки становить їхній НСД. Для 6 і 8 удвічі, для 12 і 18 ушестеро. А для 4 і 9 добуток і є найменшим спільним знаменником, хоча обидва числа складені.

Скоротити за один крок, а не за три

Основна властивість дробу дозволяє множити або ділити чисельник і знаменник на одне число, відмінне від нуля. Дріб з чисельником 84 і знаменником 126 можна скорочувати поступово, на 2, потім на 3, потім на 7. А можна поділити відразу на 42 і отримати дві третіх за один крок.

Число 42 і є НСД, його видно з розкладу на прості множники. 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 126 = 2 · 3 · 3 · 7, спільні множники тут 2, 3 і 7, а їхній добуток 42. Як розкладати числа на прості множники, пояснює стаття про прості й складені числа.

Дріб нескоротний, коли НСД чисельника й знаменника дорівнює 1. Самі числа при цьому можуть бути складеними. Дріб вісім п'ятнадцятих не скорочується, бо у 8 є лише двійки, а в 15 лише трійка й п'ятірка.

Скорочують множники, а не доданки

З буквами правило те саме, але ділити треба весь чисельник і весь знаменник. Тому спільний множник спершу виносять за дужки. У виразі 3x + 6 виноситься трійка, лишається x + 2, і після скорочення на 3 дев'ятка в знаменнику перетворюється на трійку.

Закреслити трійку тільки в 3x означає поділити на 3 лише один доданок. На цьому побудоване перше завдання ЗНО-2018.

Завдання 1 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Чисельник 2a + 2 дорівнює 2(a + 1), після скорочення на 2 лишається a + 1, відповідь В. Варіант a + 2 обирає той, хто поділив на 2 лише перший доданок, а 2a + 1 той, хто поділив лише другий. Відповідь 2a з'являється, якщо «скоротити» двійку-доданок з двійкою в знаменнику, а просто a, якщо закреслити всі три двійки.

Перевірити себе тут можна підстановкою числа. При a = 2 дріб дорівнює 3, і з п'яти варіантів 3 дає тільки a + 1. Брати a = 1 гірше, бо тоді a + 1 і 2a обидва дорівнюють 2. Більше про такі перетворення є в статті про алгебраїчні вирази.

Найменший спільний знаменник без розкладу на множники

Для двох невеликих знаменників НСК знаходять перебором. Виписують кратні більшого знаменника, доки не трапиться число, що ділиться на менший. Для 6 і 8 це 8, 16, 24, і вже 24 ділиться на 6. Для 12 і 18 вистачає двох кроків, 18 і 36.

Чому добуток більший саме в НСД разів? Бо добуток двох чисел завжди дорівнює добутку їхніх НСД і НСК. Для 12 і 18 це 216 = 6 · 36, тобто добуток рівно вшестеро більший за найменший спільний знаменник.

Коли НСД дорівнює 1, тобто знаменники взаємно прості, добуток і є найменшим спільним знаменником. Самі знаменники при цьому не обов'язково прості, як 4 і 9. А якщо більший знаменник ділиться на менший, як 12 на 4, спільним знаменником буде сам більший.

Коли добуток знаменників теж годиться

Я не вважаю помилкою множити знаменники, коли дробів два й знаменники маленькі. Одна шоста плюс одна восьма через знаменник 48 дає чотирнадцять сорок восьмих, а після скорочення сім двадцять четвертих, як і через 24. Треба тільки не забути скоротити.

З трьома знаменниками я б так не робив. Для суми однієї шостої, однієї десятої та однієї п'ятнадцятої добуток знаменників дорівнює 900, хоча вистачає 30. Відповідь однакова, одна третя, але скорочувати триста дев'ятисотих довше, ніж десять тридцятих.

Програма ЗНО теж розрізняє ці випадки. Знаходити НСД і НСК двох чисел у ній треба на обох рівнях, а кількох чисел лише на профільному. Додавання й віднімання дробів з різними знаменниками, зокрема мішаних чисел, розібране в статті про додавання й віднімання дробів.

Що більше, сім дванадцятих чи п'ять восьмих?

Через спільний знаменник 24 маємо чотирнадцять двадцять четвертих проти п'ятнадцяти, тож п'ять восьмих більше. Навхрест виходить ще коротше. Множимо 7 на 8 і 5 на 12, отримуємо 56 і 60, і більшим є той дріб, чий чисельник дав більший добуток. Так можна порівнювати будь-які дроби з додатними знаменниками.

Деякі пари дробів порівнюються взагалі без множення. П'ять одинадцятих менше за половину, бо половина від 11 це 5,5, а сім тринадцятих більше, бо половина від 13 це 6,5. Для дробів, близьких до одиниці, дивляться, скільки їм бракує до цілого. Дев'яти десятим бракує однієї десятої, десяти одинадцятим лише однієї одинадцятої, тому десять одинадцятих більше.

У п'ятому й шостому класах ми часто бачимо іншу помилку. Одну восьму вважають більшою за одну шосту, бо 8 більше за 6. Але з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший, адже ціле поділили на менше частин. Звідки береться ця плутанина і як її лікують числовою прямою, ми писали в статті про дроби як основу математики.

Шість прикладів без калькулятора

У першому й п'ятому скоротіть дріб, у другому й шостому знайдіть суму, а в третьому й четвертому поставте знак більше чи менше.

Відповіді

Якщо в першому вийшло дев'ять п'ятнадцятих чи шість десятих, скорочення не доведене до кінця, бо НСД чисел 54 і 90 дорівнює 18. Якщо в п'ятому вийшло a + 12, поділене на 2, на 4 поділено тільки перший доданок, як у варіанті А із ЗНО-2018.

Як той самий дріб записати десятковим чи мішаним числом і чому ділення іноді не закінчується, розповідає стаття про види дробів.

Де набити руку на скороченні

Арифметичні дроби зручно тренувати за PDF-тренажером «Дроби». Для дробів з буквами є безкоштовний тест «Дробово-раціональні вирази», колода флешкарток і PDF-збірник з цієї теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання 1 узято із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 на testportal.gov.ua і звірено з ключем УЦОЯО, а всі НСД, НСК і відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 6 жовтня 2026 року. НСД і НСК двох чисел є в чинній програмі ЗНО, яку використовують для НМТ, а програма для НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.