Прості й складені числа, таблиця простих чисел до 1000 і перевірка щонайбільше за 11 ділень

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Просте число має рівно два дільники, одиницю й саме себе, а в складеного їх більше. Число 1 не належить ні до простих, ні до складених, а серед парних чисел просте лише 2. До 1000 є 168 простих чисел.

Щоб перевірити, чи є простим якесь число до тисячі, досить ділити його на прості числа до 31, а їх одинадцять: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 і 31. Більших дільників пробувати не треба, бо складене число завжди має дільник, не більший за квадратний корінь із нього, а 31² = 961, тоді як квадрат наступного простого числа 37 дорівнює вже 1369.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 правильною відповіддю на третє завдання було число 91. Воно непарне, не ділиться ні на 3, ні на 5 і здається простим, але 91 = 7 · 13.

Одиниця стоїть окремо, і на це є причина

Під означення простого числа одиниця не підходить, бо дільник у неї лише один. Але є й глибша причина. Кожне натуральне число, більше за 1, розкладається на прості множники єдиним способом, якщо не зважати на порядок множників. Це твердження називають основною теоремою арифметики.

Наприклад, 12 = 2 · 2 · 3, а іншого розкладу немає. Якби одиниця була простою, розкладів стало б безліч, 2 · 2 · 3, 1 · 2 · 2 · 3, 1 · 1 · 2 · 2 · 3 і так далі, і теорему довелося б формулювати з винятком. Простіше домовитися, що 1 стоїть окремо. А парне просте число лише одне, бо будь-яке інше парне число ділиться на 2 і має щонайменше три дільники.

Решето Ератосфена для першої сотні

Цей спосіб придумав Ератосфен понад дві тисячі років тому. Виписуємо числа від 2 до 100. Двійку залишаємо, а всі її кратні закреслюємо. Перше незакреслене число після неї, 3, теж просте, тож закреслюємо кратні трьох, а далі так само з 5 і 7.

На сімці можна зупинитися, бо 11 · 11 = 121, а це вже більше за сто. Будь-яке складене число до 100 має дільник 2, 3, 5 або 7 і на цей момент уже закреслене. Колір на рисунку показує, на якому кроці закреслили число.

Залишаються 25 простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 і 97.

Подивіться на останній крок. Сімка закреслює лише три нові числа, 49, 77 і 91, бо решту її кратних уже прибрали двійка, трійка й п'ятірка. Саме їх на заняттях нерідко називають простими. Число 49 є в таблиці множення, 77 видає себе однаковими цифрами, а 91 не видає нічим.

Столи, стільці й число 91

Завдання 3 з демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Відношення три до чотирьох означає, що на кожні 3 столи припадають 4 стільці. Усю продукцію можна розкласти на однакові набори по 7 предметів, тому загальна кількість ділиться на 7. З варіантів на 7 ділиться тільки 91 = 7 · 13, тобто 13 наборів, 39 столів і 52 стільці. Відповідь В.

Варіант 72 ділиться і на 3, і на 4, його обирає той, хто перемножив частини відношення й шукав кратне 12. Число 87 ділиться на 3 і підходить тому, хто думав лише про столи. А 95 і 101 на 7 не діляться. Найнебезпечніше тут вважати 91 простим, бо тоді кратного семи серед варіантів ніби немає, і правильне міркування здається хибним.

Одинадцять ділень замість таблиці

Якщо число складене, його можна записати як добуток двох множників, і менший з них не перевищує квадратного кореня із числа. Інакше обидва множники були б більшими за корінь, і їхній добуток перевищив би саме число. Для чисел до 1000 корінь менший за 32, тому досить перебрати прості дільники до 31.

Перші три перевірки робляться без ділення, за ознаками подільності на 2, 3 і 5. На 7, 13 чи 17 зручних ознак немає, і тут доводиться ділити.

Число 391 тримається до сімнадцяти, а потім виявляється, що 391 = 17 · 23. Для 397 зупиняємося після 19, бо 23 у квадраті дає 529, більше за 397, і число просте. А 961 особливе. Це єдине складене число до тисячі, яке витримує десять перших ділень, і з простих чисел воно ділиться лише на 31.

Усі 168 простих чисел до 1000

Помаранчевим позначено ті одинадцять дільників, якими перевіряють решту. Сотні для зручності виділено фоном через одну.

Прості числа поступово рідшають. У першій сотні їх 25, у другій 21, а від 900 до 999 лише 14.

Я не раджу вчити цю таблицю напам'ять. Корисно знати прості числа до 50, їх 15, і вміти перевіряти решту діленням. Перевірка будь-якого числа до тисячі забирає щонайбільше одинадцять ділень, а таблицю на 168 чисел важко втримати в пам'яті без постійного повторення. Повна таблиця знадобиться хіба що для самоперевірки.

Розклад на прості множники, НСД і НСК

Розкладати складене число можна, починаючи з будь-якої пари множників. Число 360 можна почати як 36 · 10, а можна як 8 · 45, і дерева вийдуть різні. Але внизу завжди опиняться ті самі прості числа, три двійки, дві трійки й одна п'ятірка.

Тобто 360 = 2³ · 3² · 5. У школі частіше ділять стовпчиком, спершу на 2, доки ділиться, потім на 3 і далі за зростанням, а результат виходить той самий.

Коли розкладено обидва числа, наприклад 360 і 84, найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне знаходяться без підбору. Для НСД беремо спільні прості множники з меншими показниками, для НСК усі множники з більшими.

Перевірити себе допомагає одна рівність. Добуток НСД і НСК дорівнює добутку самих чисел, і справді 12 · 2520 = 360 · 84 = 30 240. Той самий розклад допомагає скорочувати дроби одразу на найбільший спільний дільник. Обидва поняття прямо названо в програмі ЗНО.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Числа і вирази». Ліворуч зміст, праворуч уміння. Джерело: testportal.gov.ua.

Знаходити НСД і НСК двох чисел треба на обох рівнях, а кількох чисел лише на профільному. Розклад на прості множники працює однаково і для двох чисел, і для п'яти, тому на заняттях ми вчимо саме його, а не підбір.

Шість вправ на розклад і НСД

У перших трьох вправах розкладіть число на прості множники. У шостій x і y натуральні, як кількість столів і стільців у завданні з НМТ.

Відповіді

Якщо 527 чи 899 здалися вам простими, ви закінчили перевірку, не дійшовши до кореня з числа. Відповідь 1 у четвертій вправі означає, що 91 або 143 прийняли за просте, а 144 у шостій з'являється тоді, коли шукають кратне шести замість одинадцяти.

Ще кілька несподіваних фактів про числа зібрано в статті про математичні дива. Класифікацію чисел від натуральних до ірраціональних пояснює стаття про дійсні числа, а дії з ними розібрано в статті про операції з дійсними числами.

Тест, картки й збірник з цієї теми

Для тренування підійде безкоштовний тест «Властивості дій з дійсними числами», а до нього колода флешкарток і PDF-збірник з тієї ж теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання про столи й стільці взято з демонстраційного варіанта НМТ-2026 на testportal.gov.ua, а таблицю простих чисел, розклади й відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями і довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 6 жовтня 2026 року. НСД і НСК двох чисел входять до чинної програми ЗНО, за якою складають НМТ, а чи зміниться програма для НМТ-2027, поки не визначено.