Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 6, 9 і 10. Ознака на 6 складається з двох інших

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Число ділиться на 2, якщо його остання цифра парна, на 5, якщо вона дорівнює 0 або 5, і на 10, якщо це нуль. На 3 ділиться кожне число, сума цифр якого ділиться на 3, і так само працює ознака на 9. На 4 число ділиться тоді, коли на 4 ділиться число з двох його останніх цифр, а на 6 тоді, коли воно парне й має суму цифр, кратну трьом.

Програма ЗНО, за якою складають і НМТ, називає лише п'ять ознак, на 2, 3, 5, 9 і 10. Ознак на 4 і на 6 у ній немає. Проте в додатковій сесії ЗНО-2018 трапилося завдання, у якому без подільності на 4 правильної відповіді не вибрати.

Значок із трьох крапок читають «ділиться на». Помаранчевим виділено цифри, на які треба дивитися. Для 2, 5, 10 і 4 це кінець числа, а для 3, 9 і 6 уже всі цифри.

Звідки взялося правило суми цифр

Усе тримається на рівності 10 = 9 + 1. Так само 100 = 99 + 1, а 1000 = 999 + 1. Розпишемо число 4 725 за розрядами й відокремимо ці одиниці.

Числа 9, 99 і 999 діляться на 9, тому перша дужка ділиться на 9 за будь-яких цифр. Відповідь залежить лише від другої дужки, а в ній стоїть сума цифр. Вона дорівнює 18, тож 4 725 ділиться і на 9, і на 3.

Із цього розкладу видно більше, ніж сама ознака. Число й сума його цифр дають однакову остачу від ділення на 9, і так само від ділення на 3. Сума цифр числа 4 726 дорівнює 19, тому і 4 726 при діленні на 9 дає остачу 1, без жодного стовпчика. Для 4 чи 7 такого правила немає, бо 10 при діленні на 4 дає остачу 2, а при діленні на 7 остачу 3.

Для четвірки вистачає двох останніх цифр

Ознака на 4 спирається на інший факт. Сотня ділиться на 4, тому сотні на подільність не впливають. Перевіряти треба лише те, що лишилося після них, тобто число з двох останніх цифр.

Дехто перевіряє на 4 лише останню цифру. Так не можна. Число 14 закінчується четвіркою й на 4 не ділиться, а 32 закінчується двійкою й ділиться. Та сама логіка дає ознаку на 8, тільки цифр береться три, бо 1000 = 8 · 125.

Шістка збирається з двох ознак, а вісімка ні

Число ділиться на 6, якщо воно ділиться і на 2, і на 3. Хочеться так само зібрати ознаку на 8 з ознак на 2 і на 4. Не вийде. Число 12 ділиться і на 2, і на 4, а на 8 не ділиться.

Різниця в спільних дільниках. У 2 і 3 немає спільного дільника, крім одиниці, і такі числа називають взаємно простими, а 2 і 4 обидва діляться на 2. Подільність на кожне з двох чисел дає подільність на їхній добуток тільки для взаємно простих чисел. В інших випадках гарантовано лише ділення на найменше спільне кратне цих чисел, про яке ми докладніше пишемо в статті про прості й складені числа.

Звідси кілька ознак, які рідко записують окремим рядком. Число ділиться на 12, якщо ділиться на 3 і на 4, на 18, якщо ділиться на 2 і на 9, і на 45, якщо ділиться на 5 і на 9. Якщо ж число ділиться на 4 і на 6, гарантоване лише ділення на 12, а не на 24.

Тістечка, булочки й цукерки із ЗНО-2018

Обидва завдання третього номера розв'язуються підбором, але з ознаками подільності виходить коротше.

Завдання 3 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

За тістечка по 10 грн платять суму, кратну десяти, а за п'ять булочок 5x гривень. Обидві частини діляться на 5, тож на 5 ділиться й уся покупка. Серед варіантів таке число одне, 35, і відповідь Д.

Інші чотири варіанти стоять поруч із правильним і відрізняються тільки останньою цифрою. Без умови, що x ціле, підійшло б будь-яке з них, наприклад 31 грн виходить із двох тістечок і п'яти булочок по 2 грн 20 коп. А хто вирішить, що сума має бути парною, бо 10 парне, обере 32 або 34 і забуде, що 5x буває непарним.

Завдання 3 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Поділити цукерки порівну між двома й між трьома дітьми можна тоді, коли їхня кількість ділиться на 2 і на 3, тобто на 6. У 40 і 50 сума цифр дорівнює 4 і 5, тому на 3 вони не діляться. Лишаються 36, 42 і 48, і далі потрібна подільність на 4, про яку програма мовчить. Перше й останнє з цих чисел на 4 діляться, 42 ні, тому відповідь В.

Варіанти 36 і 48 чекають на того, хто перевірив двійку й трійку, а про четвірку забув. Число 50 підходить, якщо прочитати «між двома або трьома» як «або між двома, або між трьома», бо воно парне й на 4 не ділиться. А 40 ділиться на 4 і відпадає одразу.

Програма називає п'ять ознак, а вчити варто сім

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Числа і вирази». Ліворуч зміст, праворуч уміння. Джерело: testportal.gov.ua.

У змісті перелічено ознаки на 2, 3, 5, 9 і 10, а серед умінь стоїть коротке «використовувати ознаки подільності». Поруч вимоги знаходити НСД і НСК двох чисел, неповну частку й остачу, і жодна з них без подільності не обходиться.

Я раджу вчити ознаку на 4 разом з рештою. Вона займає один рядок, а завдання з цукерками показує, що на тесті вона може знадобитися. Ознаку на 6 окремо зубрити не треба, бо вона збирається з двох інших, так само як ознаки на 12, 15, 18 чи 45. А найчастіше ознаки подільності стають у пригоді під час скорочення дробів, де одразу підказують, на що скоротити.

Шість вправ на подільність

Квадратик означає пропущену цифру, і в першій та другій вправі відповідей кілька. У четвертій знайдіть серед чотирьох чисел те, що ділиться на 36.

Відповіді

Хто в другій вправі дивиться лише на останню цифру, той відкине 5 312, бо 2 на 4 не ділиться. Якщо в п'ятій вийшло, що такого числа немає, ви шукали кратне 24 замість 12.

Дев'ятку добре видно в таблиці множення, бо в її рядку сума цифр кожного добутку дорівнює 9. Про натуральні, цілі й раціональні числа читайте статтю про дійсні числа, а арифметичні промахи, на яких губляться бали, зібрано в статті про помилки на НМТ з математики.

Тест і флешкартки на властивості чисел

Закріпити тему можна в безкоштовному тесті «Властивості дій з дійсними числами». До тієї ж теми на сайті є колода флешкарток і PDF-збірник.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Обидва завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2018 на testportal.gov.ua і звірено з ключами УЦОЯО, а відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 6 жовтня 2026 року. Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9 і 10 названо в чинній програмі ЗНО, за якою складають НМТ; чи зміниться цей перелік для НМТ-2027, поки не визначено.