Властивості логарифмів і чому log₂ 8 + log₂ 4 дорівнює log₂ 32, а не log₂ 12

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів, логарифм частки дорівнює їх різниці, а показник степеня виноситься множником перед логарифм. Тому log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ 32. Числа під логарифмами перемножують, а не додають, і перевірити це можна одразу, бо 3 + 2 = 5, а 2⁵ = 32.

Корінь працює як степінь з дробовим показником. Ще три формули пов'язані з основою, це основна логарифмічна тотожність, основа у вигляді степеня і перехід до нової основи. Коли вираз за цими правилами розкладають на суму логарифмів, це логарифмування, а зворотний крок, від логарифмів до самого виразу, називають потенціюванням.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 є сім формул про логарифми, але двох із цього переліку там немає. Бракує кореня й переходу до нової основи. Перший випливає з формули степеня, а другий виводиться з означення за три рядки.

Звідки 32, а не 12

Логарифм за основою 2 показує, у який степінь треба піднести двійку, щоб отримати число під логарифмом. Для 8 це 3, для 4 це 2. При множенні степенів з однаковою основою показники додаються, тож сума логарифмів 3 + 2 = 5 відповідає добутку 8 · 4 = 32.

А log₂ 12 навіть не ціле число. Дванадцять лежить між 8 і 16, тому log₂ 12 між 3 і 4, приблизно 3,58.

Формули для добутку, частки, степеня й кореня зводяться до однієї думки. Логарифм опускає кожну дію на щабель нижче, і множення стає додаванням, ділення відніманням, піднесення до степеня множенням, а корінь діленням на показник кореня. Нижче за додавання щабля немає, тому логарифм суми ні на що не розкладається. Як логарифм пов'язаний зі степенем, з вправами на кожен крок, пояснено в статті про логарифми через степені.

Формулу для кореня я раджу окремо не вчити. Квадратний корінь з 32 це 32 в степені одна друга, і за звичайною формулою степеня його логарифм за основою 2 дорівнює половині від 5, тобто 2,5. Так само працює корінь будь-якого степеня.

Чого немає в довідкових матеріалах НМТ

Розділ «Логарифми» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Умови з першого рядка стосуються кожної формули під ним. Остання формула рятує, коли основи різні, але є степенями одного числа. Наприклад, 16 це 2⁴, тому log₁₆ 8 дорівнює чверті від log₂ 8, тобто 0,75.

Якщо ж основи між собою не пов'язані, як 2 і 5, знадобиться перехід до нової основи. Виводять його з означення, логарифмуючи рівність за новою основою c.

У першому рядку означення логарифма, у третьому формула степеня з довідника, і більше нічого не потрібно. За нову основу беруть число, з яким усе рахується, найчастіше 2, 10 або e. Логарифмам за основами 10 і e присвячено окрему статтю про натуральний і десятковий логарифм. З тієї ж формули видно, що log₂ 5 · log₅ 2 = 1, бо після переходу до спільної основи дроби скорочуються.

Формули працюють лише для додатних чисел

Вираз log₂((−4) · (−8)) має сенс, це log₂ 32 = 5. Розкласти його на log₂(−4) + log₂(−8) не можна, бо логарифмів від'ємних чисел не існує. Тож суму логарифмів у логарифм добутку збирати можна завжди, а розбирати добуток на суму лише тоді, коли обидва множники додатні.

Зате збирання розширює область визначення, і в рівняннях це дає зайві корені. Рівняння log₂ x + log₂(x − 3) = 2 після нього стає x(x − 3) = 4, звідки x = 4 або x = −1. Другий корінь зайвий, бо при x = −1 не існує жоден з логарифмів умови. Як такі корені відсіювати, розказано в статті про логарифмічні рівняння, а в нерівностях та сама умова обрізає проміжок відповіді, про це стаття про логарифмічні нерівності.

Розкласти вираз на логарифми і зібрати назад

Логарифмування розбирає добуток, частку чи степінь на прості логарифми. Потенціювання робить зворотне, і кожна дія піднімається на щабель вище.

У другому прикладі та сама будова, тільки замість a, b і c стоять 3, 16 і 6. Двійка перед lg 3 стає квадратом, половина перед lg 16 квадратним коренем, мінус діленням, і виходить x = 6.

Є й інший хід, дуже поширений. Учень стирає букви lg, залишає всі дії як були і отримує 8, як в останньому рядку. Це та сама помилка, що й log₂ 12 у заголовку, тільки в зворотний бік.

Помилка із заголовка серед варіантів ЗНО

У завданні 16 основної сесії ЗНО-2018 треба було обчислити суму й різницю логарифмів за основою 3.

Завдання 16 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Жоден з трьох логарифмів окремо не рахується, і це перша підказка, що їх треба зібрати в один. Сума дає множення, різниця ділення, тож під логарифмом опиняється 45 · 900, поділене на 500. Це 81, тобто 3⁴. Відповідь 4, варіант Б.

Варіант Д побудовано рівно на помилці із заголовка, бо 45 + 900 − 500 = 445. Варіант А виходить, якщо прочитати означення навпаки й шукати, у який степінь піднести 81, щоб отримати 3. Числа 3 і 27 з'являються, якщо дійти до 81, а потім записати основу замість показника або поділити 81 на 3.

Мінус перед логарифмом

У додатковій сесії ЗНО-2020 логарифм потрапив лише в третій рядок завдання на відповідність.

Завдання 22 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Перші два рядки про степені й дроби. Частка a⁴ і a³ дорівнює a, варіант Г, а a⁷ отримує той, хто при діленні додав показники. У другому рядку чисельник дорівнює a(a − 1), дужка відрізняється від знаменника лише знаком, і лишається −a, варіант Д.

Третій рядок розв'язує формула степеня, прочитана справа наліво. Мінус перед логарифмом це множник −1, і його вносять під логарифм показником степеня. Виходить 7 в степені log₇ a⁻¹, а за основною тотожністю це a⁻¹, варіант В. Варіант −a обирають, коли мінус переносять на результат, а a, коли його просто гублять.

Правильні відповіді в цьому завданні різні. Якщо у двох рядках у вас вийшла однакова буква, десь помилка.

Що про логарифм сказано в програмі

Шапка таблиці й рядок про вирази та їх перетворення з програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Числа і вирази». Джерело: testportal.gov.ua.

У змісті прямо названо означення та властивості логарифма й основну логарифмічну тотожність. Серед умінь програма вимагає перетворювати логарифмічні вирази і знаходити їх значення, а саме це й треба було зробити в обох завданнях. Окремих формул вона не перелічує, і перехід до нової основи цілком належить до властивостей логарифма, хоч у довіднику його й немає.

Шість прикладів без калькулятора

У четвертому знадобиться перехід до нової основи, а в шостому треба знайти x.

Відповіді

Якщо в першому вийшов log₆ 13, ви додали числа під логарифмами. Відповідь 3 у шостому означає, що логарифми стерли й залишили дії як були, а 13 у п'ятому, що 2 в степені суми розклали на суму степенів.

Тест, флешкартки і тренажер з логарифмів

На сайті є безкоштовний тест «Показникові та логарифмічні вирази» з розділу НМТ за темами, а до нього флешкартки з формулами і PDF-збірник. Якщо заважають ще степені, почніть з тренажера «Степені, корені, логарифми». Як ця тема виглядає на тесті загалом, описано в огляді про логарифми та степені на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2018 і ЗНО-2020 та звірено з ключами УЦОЯО, а кожен приклад і відповіді до вправ ми перевірили обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями і довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 6 жовтня 2026 року. Властивості логарифма й основна логарифмічна тотожність є в чинній програмі ЗНО, на яку спирається НМТ; чи зміниться програма для НМТ-2027, поки не визначено.