Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. Віднімаючи мішані числа, іноді позичають одиницю

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Якщо знаменники однакові, додають або віднімають тільки чисельники, а знаменник залишається той самий. Якщо різні, дроби спершу зводять до спільного знаменника, найзручніше до найменшого, і далі роблять так само. Мішані числа додають і віднімають частинами, цілі з цілими, дробові частини з дробовими. Або ж обидва числа одразу перетворюють на неправильні дроби.

Класична помилка в цій темі має дивну рису. Хто додає чисельник до чисельника, а знаменник до знаменника, завжди отримує число між двома доданками, тобто не більше за більший з них. А сума двох додатних дробів більша за кожен доданок. Тож таку відповідь можна відкинути, нічого не перераховуючи.

П'ять шостих і три восьмих не можна додати одразу, так само як не додають метри до сантиметрів. Спершу обидва дроби треба записати в однакових частках, тут у двадцять четвертих. Число 24 найменше з тих, що діляться і на 6, і на 8. Воно більше за 6 у чотири рази, а за 8 у три, тому перший дріб домножуємо на 4, а другий на 3.

Ці числа називають додатковими множниками. Множать на них і чисельник, і знаменник, тож величина дробу не змінюється. Найменший спільний знаменник зручно шукати серед кратних більшого знаменника. Для 8 це 8, 16, 24, і перше з них, що ділиться на 6, якраз 24.

Добуток знаменників, 48, теж годиться, просто тоді відповідь доведеться скорочувати. Коли найменший спільний знаменник збігається з добутком, а коли ні, пояснює стаття про скорочення дробів і спільний знаменник. У третьому прикладі дробові частини разом дали сім шостих, тобто більше за одиницю. Цю одиницю переносять до цілих, як десяток у додаванні стовпчиком.

Хибну суму видно без обчислень

Половина плюс третина дорівнює п'яти шостим. Але в зошитах раз у раз з'являється відповідь дві п'ятих. Так учень переносить на додавання правило множення, де справді множать чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Подивіться, де ці числа стоять на прямій.

Число дві п'ятих лежить між третиною й половиною, тобто «сума» вийшла меншою за один з доданків. З додатними числами такого не буває.

І це не збіг конкретного прикладу. Дріб, у якого чисельник дорівнює сумі чисельників, а знаменник сумі знаменників, завжди лежить між двома вихідними дробами. Це видно на прикладі з баскетболу.

Нехай у першій грі гравець влучив один кидок із двох, а в другій один із трьох. За обидві гри в нього два влучання з п'яти спроб. Частка влучань за дві гри не може бути вищою, ніж у кращій грі, і нижчою, ніж у гіршій. Виходить, хибний спосіб рахує не суму дробів, а спільну частку. Тому відповідь завжди опиняється посередині.

Звідси перевірка на кілька секунд. Порівняйте кожен дріб з половиною та одиницею. Дроби дві третіх і три четвертих обидва більші за половину, тож їхня сума більша за 1, а хибний спосіб дав би п'ять сьомих, менше за одиницю. Правильно буде сімнадцять дванадцятих, тобто одна ціла п'ять дванадцятих.

Щоб порівняти дріб з половиною, досить подвоїти чисельник. Дріб п'ять восьмих більший за половину, бо 10 більше за 8, а сім п'ятнадцятих менший, бо 14 менше за 15.

Позичена одиниця в мішаних числах

Віднімати мішані числа частинами зручно, доки дробова частина зменшуваного не менша за дробову частину від'ємника. Візьмімо п'ять цілих одну четверту мінус дві цілих три четвертих. Від однієї четвертої три четвертих не віднімеш, тому одну з п'яти цілих розмінюємо на чотири четвертих і записуємо зменшуване як чотири цілих п'ять четвертих.

Після розміну все віднімається, і виходить два з половиною. Найчастіша помилка тут та сама, що й у відніманні стовпчиком. Учень бачить дві дробові частини й від більшої віднімає меншу, не дивлячись, котра з них у зменшуваному. Так з'являється три з половиною в нижньому рядку.

На контрольній чи на НМТ я раджу другий спосіб. Обидва мішані числа одразу перетворюємо на неправильні дроби й віднімаємо чисельники. Чисельники виходять більшими, а відповідь наприкінці доводиться переводити назад. Зате позичати нічого не треба, і помилитися з одиницею просто ніде.

Як перетворити мішане число на неправильний дріб і навпаки, показано в статті про види дробів. Для множення й ділення мішані числа однаково доведеться перетворювати, про це окрема стаття про множення й ділення дробів.

Букви замість чисел у завданні ЗНО-2021

З буквами діють ті самі правила. У шостому завданні основної сесії ЗНО-2021 знаменник був спільний, і все зводилося до акуратного віднімання чисельників.

Завдання 6 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Від 3m віднімаємо 3m, і в чисельнику лишається −2n. Нескороченої відповіді серед варіантів немає, тому дріб скорочуємо на 2, і виходить варіант А. Звідки беруться три з чотирьох неправильних варіантів, видно на картинці.

Варіант Д отримує той, у кого мінус перед другим дробом перетворився на плюс. Варіант Г з'являється, коли 3m − 2n «спрощують» до m, ніби від трьох m можна відняти два n. У варіанті Б двійку в чисельнику прибрали, а знаменник на 2 не поділили.

Тут другий чисельник складався з одного доданка. Якби їх було два, мінус перед дробом змінив би знак обох, і саме на цьому кроці на заняттях помиляються найчастіше. Тому другий чисельник я завжди беру в дужки, навіть коли в ньому один доданок.

Шість прикладів на закріплення

У перших п'яти спершу прикиньте, більшою чи меншою за одиницю буде відповідь. Четвертий і п'ятий порахуйте двома способами, частинами й через неправильні дроби.

Відповіді

Якщо в другому вийшло менше за три четвертих, ви додали знаменники між собою, і відповідь, як завжди в цій помилці, застрягла між доданками. Відповідь три цілих дві п'ятих у п'ятому означає, що одиницю не позичили, а від більшої дробової частини відняли меншу.

Правила для всіх дій з дробами, десятковими й від'ємними числами зібрано в статті про дії з дійсними числами. А як прогалини з дробами потім виринають в алгебрі й на НМТ, ми писали в статті про те, чому проблеми з математикою починаються з дробів.

Більше прикладів на дроби

Багато прикладів на дії з дробами зібрано в PDF-тренажері «Дроби». Перевірити себе онлайн можна в безкоштовному тесті «Властивості дій з дійсними числами».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 на testportal.gov.ua і звірено з ключем УЦОЯО, а всі приклади й відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 6 жовтня 2026 року. Додавання й віднімання дробів входять до чинної програми, за якою складають НМТ з математики, а чи зміниться програма для НМТ-2027, поки не визначено.