Множення й ділення дробів. Ділення на правильний дріб збільшує додатне число

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Щоб помножити дріб на дріб, чисельник множать на чисельник, а знаменник на знаменник. Щоб поділити, ділене множать на дріб, обернений до дільника, тобто на перевернутий дільник. Мішані числа перед множенням і діленням перетворюють на неправильні дроби. А скорочують навхрест ще до множення, поки числа маленькі.

Звідси наслідок, який спершу здається помилкою. Поділіть 3 на одну другу, і вийде 6, удвічі більше, ніж було. Ділення на будь-який правильний дріб збільшує додатне число, а множення на такий дріб його зменшує.

Обернений дріб отримують, коли міняють місцями чисельник і знаменник. Для чотирьох п'ятих це п'ять четвертих, для числа 3 одна третя. Добуток будь-якого дробу на обернений до нього дорівнює 1, і саме тому ділення можна замінити множенням.

Останні два рядки показують, навіщо перетворювати мішані числа. Два з половиною, помножене на два з половиною, дорівнює шести з чвертю, а схема «цілі на цілі, дроби на дроби» дає лише чотири з чвертю. Загубилися два добутки, у яких ціла частина одного числа множиться на дробову частину другого. Разом вони дають рівно 2. Для додавання мішаних чисел така схема працює, а для множення ні.

Скільки половинок уміщується в трьох

Ділення відповідає на питання, скільки разів дільник уміщується в діленому. Шість поділити на два дорівнює трьом, бо двійка вміщується в шістці тричі. Так само три поділити на одну другу означає дізнатися, скільки половинок у трьох цілих.

У кожній цілій дві половинки, тож у трьох цілих їх шість. Поділити на одну другу виявилося те саме, що помножити на 2. Дріб дві третіх уміщується в одиниці півтора раза, це видно на нижньому малюнку. Тому поділити на дві третіх означає помножити на три других.

Подивіться, що відбувається з числом 12, коли дільник поступово росте.

Поки дільник менший за одиницю, частка більша за 12. Ділення на одиницю нічого не змінює, а ділення на число, більше за одиницю, зменшує. А неправильний дріб або дорівнює одиниці, як чотири четвертих, або більший за неї. Тому ділення на неправильний дріб додатне число не збільшує ніколи.

Слово «додатне» в заголовку стоїть недарма. Мінус дванадцять поділити на одну другу дорівнює мінус двадцяти чотирьом, а це менше, ніж було. З множенням так само, третина від мінус дванадцяти дорівнює мінус чотирьом, і це вже більше. Тому нерівність, у якій третина числа більша за саме число, правильна для всіх від'ємних чисел і лише для них. Відповідь «таких чисел немає» ми на заняттях чуємо часто.

Скорочувати навхрест треба до множення

Перед множенням скорочують не лише кожен дріб окремо, а й навхрест, чисельник першого дробу зі знаменником другого. Це законно, бо після множення всі чотири числа однаково опиняться в одному дробі, чисельники зверху, знаменники знизу.

У першому рядку числа не перевищують 45, і одна шоста з'являється одразу. У другому спершу виходить дріб із чотиризначним знаменником, а далі треба ще здогадатися, що 210 і 1260 обидва діляться на 210. Множники ті самі, просто в маленьких числах їх видно, а у великих ні.

Тому я раджу скорочувати завжди до множення й ніколи після. Є одне застереження. Скорочують тільки множники, тож якщо в чисельнику стоїть сума, як буває в дробах з буквами, навхрест нічого не викреслюють, поки суму не розклали на множники.

Обернений дріб у першому завданні ЗНО-2018

Обернений дріб перевіряли першим же завданням додаткової сесії ЗНО-2018.

Завдання 1 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Відношення b до a обернене до відношення a до b, тому дорівнює семи другим. Правильна відповідь Б. Самі числа a і b можуть бути, наприклад, 4 і 14, відповідь від цього не зміниться.

Мінус дві сьомих з варіанта Г це протилежне число, а не обернене. На заняттях ці два слова плутають дуже часто. Варіант А поєднує обидві ідеї, дріб перевернули й заодно змінили знак. Варіант В просто повторює умову, а число п'ять сьомих з варіанта Д дорівнює одиниці мінус дві сьомих і до оберненого числа стосунку не має.

Мінус перший степінь у демоваріанті НМТ-2026

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 ділення на дріб сховали в степінь з від'ємним показником.

Завдання 17 з демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Степінь з показником −1 означає одиницю, поділену на число, тому 4m⁻¹ це 4, поділене на m. Показник стосується тільки m, а не всього добутку 4m. Ділимо 4 на мінус чотири третіх, тобто множимо на мінус три четвертих, і отримуємо −3. Правила знаків у множенні й діленні коротко нагадує стаття про дії з дійсними числами.

Відповідь 1Д, 2А, 3Б. Неправильні варіанти тут ловлять помилки з різних рядків. Нуль з варіанта В чекає на тих, хто вважає, що в нульовому степені будь-яке число дає нуль. Трійку з варіанта Г отримує той, хто в другому рядку загубив мінус. А якщо в третьому рядку зупинитися на 3m + 1 і забути про степінь, вийде −3 з варіанта А.

Для першого рядка пастки немає. Хто загубить мінус у m, отримає вісім третіх, а такого варіанта взагалі немає, і це сигнал перерахувати.

З варіантом Д цікавіше. Хто прочитає мінус перший степінь як протилежне число, у другому рядку помножить 4 на чотири третіх і отримає шістнадцять третіх. Це та сама плутанина оберненого з протилежним, що й у завданні ЗНО-2018. Чому від'ємний показник перевертає число, а нульовий дає одиницю, пояснює стаття про степінь і його властивості.

Спробуйте самі

У першому прикладі скоротіть навхрест ще до множення. У п'ятому спершу без обчислень вирішіть, більшою чи меншою за 6 буде відповідь.

Відповіді

Якщо в третьому вийшло дві цілих одна дванадцята, ви перемножили окремо цілі й окремо дробові частини. У шостому 8 без мінуса означає загублений знак, а 4,5 з'являється, коли мінус перший степінь читають як протилежне число.

Як переводити мішані числа в неправильні дроби й назад, показано в статті про види дробів. Чому множення й ділення дробів краще пояснювати на малюнках, а не голим правилом «перевернути другий дріб», я писав у статті про дроби як основу шкільної математики.

Тренажер і онлайн-тест

Для письмової практики підійде PDF-тренажер «Дроби», де є і множення, і ділення. А швидко перевірити себе з відповідями можна в безкоштовному онлайн-тесті «Властивості дій з дійсними числами».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 і демонстраційного варіанта НМТ-2026 на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а кожен приклад у статті перераховано окремо.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 6 жовтня 2026 року. Дії з дробами і степенями є в чинній програмі ЗНО, яку використовують для НМТ з математики; чи зміниться вона для НМТ-2027, поки не визначено.