Види дробів і переведення між ними. Одне число можна записати по-різному

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Дроби бувають звичайні й десяткові, а звичайні ще й правильні та неправильні. У правильного дробу чисельник менший за знаменник, у неправильного більший за нього або дорівнює йому. З неправильного дробу виділяють цілу частину й отримують мішане число. Для цього чисельник ділять на знаменник з остачею, неповна частка стає цілою частиною, а остача новим чисельником. Десятковий дріб переводять у звичайний через знаменник 10, 100 або 1000, а звичайний у десятковий діленням чисельника на знаменник.

Тільки це ділення закінчується не завжди. Сім сорокових це 0,175, а п'ять дванадцятих це 0,41666… без кінця, хоча 12 менше за 40. Вирішує не розмір знаменника, а прості множники, на які він розкладається.

Вісім п'ятих, одна ціла три п'ятих, 1,6 і шістнадцять десятих позначають одне й те саме число. Яку форму обрати, залежить від того, що з ним робити далі. Порівнювати зручніше десяткові дроби, а множити й ділити звичайні. Ще один запис того самого числа дають відсотки, і 1,6 дорівнює 160 %. Перехід від дробу до відсотків і назад розібрано в статті про відсотки.

Як виділити цілу частину з неправильного дробу

Візьмемо сімнадцять п'ятих. Ділимо 17 на 5 і отримуємо 3, остача 2. Тож сімнадцять п'ятих це три цілих дві п'ятих. Назад іде множення. Множимо 3 на 5, додаємо 2 і знову маємо 17 у чисельнику, а знаменник не змінюється.

Мішане число добре виглядає у відповіді, але заважає в діях. Тому на тесті я раджу переводити мішані числа в неправильні дроби одразу, ще до першої дії. Квадрат двох цілих однієї другої не дорівнює чотирьом цілим одній четвертій, хоча саме так виходить, якщо окремо піднести до квадрата цілу частину й дріб. Якщо записати число як п'ять других, відповідь видно відразу, це двадцять п'ять четвертих, або шість цілих одна четверта.

Відповідь теж зручніше шукати в такому вигляді. У завданні 22 із ЗНО-2019 серед п'яти варіантів немає жодного мішаного числа, усі записані звичайними дробами. Як з ними множити й ділити, показано в статті про множення й ділення дробів.

Кома ховає знаменник 10, 100 або 1000

Скільки цифр стоїть після коми, стільки нулів має знаменник. 0,375 це триста сімдесят п'ять тисячних, а після скорочення на 125 три восьмих. 1,6 це шістнадцять десятих, тобто вісім п'ятих.

Скорочувати такий дріб треба до кінця. Нескорочений дріб формально правильний, але серед варіантів відповіді його може не бути. Як швидко знаходити, на що скорочувати, пояснює стаття про скорочення дробів.

У зворотний бік є два шляхи. Можна ділити чисельник на знаменник куточком, і три восьмих дадуть 0,375. А можна домножити чисельник і знаменник так, щоб знаменник став 10, 100 або 1000. Для семи сорокових це швидше, бо 40 · 25 = 1000, тож дріб дорівнює 175 тисячним, тобто 0,175.

Коли ділення закінчується, а коли ні

Числа 10, 100 і 1000 розкладаються лише на двійки й п'ятірки, бо 10 = 2 · 5. Тому нескоротний дріб можна звести до такого знаменника тоді й лише тоді, коли в розкладі його власного знаменника теж немає нічого, крім двійок і п'ятірок. Тільки такі дроби дають скінченний десятковий запис.

Вісім розкладається як 2 · 2 · 2, сорок як 2 · 2 · 2 · 5, тому три восьмих і сім сорокових закінчуються. У розкладі числа 12 є трійка, тож п'ять дванадцятих тягнуться без кінця, як і одна третя (0,333…). Розмір знаменника тут ні до чого. Одна тисяча двадцять четверта дорівнює 0,0009765625, бо 1024 це добуток десяти двійок, а одна шоста дає нескінченний дріб.

Знаменник треба перевіряти після скорочення. Три дванадцятих скорочуються до однієї четвертої, тобто до 0,25, хоча 12 ділиться на 3. Двадцять одна тридцята дорівнює семи десятим, тобто 0,7. Типова помилка тут така. Учень помічає трійку в знаменнику, вирішує, що десяткового дробу не буде, і кидає рахувати.

Що з цього вимагає програма

Дроби в програмі ЗНО з математики, за якою складають і НМТ, стоять у розділі про дійсні числа.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Числа і вирази». Ліворуч зміст, праворуч уміння. Джерело: testportal.gov.ua.

Серед умінь для обох рівнів записано «перетворювати звичайний дріб у десятковий». Поруч стоїть знаходження неповної частки та остачі, тобто те саме ділення, яким неправильний дріб перетворюють на мішане число. А нескінченний періодичний дріб у звичайний програма вимагає перетворювати лише на профільному рівні, це крайня права колонка.

Саме перетворення займає кілька рядків. Нехай x = 0,2727…, або коротше 0,(27), де в дужках записано період. Період має дві цифри, тому множимо x на 100 і віднімаємо x. Хвости після коми однакові й зникають, лишається 99x = 27, тож x дорівнює двадцяти семи дев'яносто дев'ятим, а після скорочення трьом одинадцятим.

Звідси коротке правило для дробу, у якого період починається одразу після коми. Період ділять на число із самих дев'яток, і дев'яток беруть стільки, скільки цифр у періоді. За цим правилом 0,(3) дорівнює трьом дев'ятим, тобто одній третій. Будь-який періодичний дріб записує раціональне число, а нескінченний неперіодичний уже ірраціональне, докладніше в статті про дійсні числа.

Чотири твердження й п'ять дробів із ЗНО-2019

У завданні на відповідність із ЗНО-2019 одне й те саме число треба впізнати в різних записах.

Завдання 22 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Слово «правильний» у першому рядку означає, що чисельник менший за знаменник, а не що дріб записано без помилки. Такий дріб серед варіантів лише один, три п'ятих, відповідь Б.

Для другого рядка дроби зручно перевести в десяткові. Шість п'ятих це 1,2, тож цей дріб потрапляє в проміжок, відповідь Д. Вісім п'ятих стоять поруч, але це 1,6, трохи більше за межу 1,5.

У третьому рядку 7 у степені log₇ 1,6 дорівнює 1,6 за основною логарифмічною тотожністю. Логарифм тут для відводу очей. Насправді перевіряють, чи вміє учень записати 1,6 звичайним дробом, а це шістнадцять десятих, тобто вісім п'ятих, відповідь Г. Як дроби ховаються в логарифмах, степенях і ймовірності, ми показували в статті про дроби як основу математики.

У четвертому кубічний корінь з однієї восьмої дорівнює одній другій, а квадратний корінь з двадцяти п'яти дев'ятих дорівнює п'яти третім. Разом це тринадцять шостих, відповідь А. Зайвий варіант В, тринадцять п'ятих, відрізняється від правильного тільки знаменником. Таке число виходить, якщо чисельники 3 і 10 після зведення до шостих записати правильно, а знаменником узяти 2 + 3.

Хто додає чисельник до чисельника, а знаменник до знаменника, отримує шість п'ятих, тобто відповідь другого рядка. Тоді літера Д знадобиться двом рядкам одразу. У завданнях на відповідність так зазвичай не буває, тож це привід перевірити додавання. Чому дроби не додають «поверхами», написано в статті про додавання й віднімання дробів.

Перевірте себе на шести дробах

У першому запишіть мішане число, у четвертому й п'ятому десятковий дріб, в інших нескоротний звичайний. Шосте належить до профільного рівня програми.

Відповіді

Якщо в третьому вийшло сорок п'ять сотих, скорочення не доведене до кінця, бо 45 і 100 ще діляться на 5. Якщо в п'ятому ви вирішили, що десяткового дробу не буде, бо 15 ділиться на 3, то спершу треба було скоротити дріб до трьох п'ятих.

Два тренажери для дробів

Щоб переводити дроби без чернетки, потрібні десятки прикладів, а не два-три. Для цього є PDF-тренажери «Дроби» і «Раціональні числа».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання 22 взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 на testportal.gov.ua і звірено з офіційним ключем, а всі переведення в прикладах і вправах перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 6 жовтня 2026 року. Переведення звичайного дробу в десятковий є в чинній програмі на обох рівнях; чи зміниться програма для НМТ-2027, поки не визначено.