На скільки відсотків одне число більше за інше. 100 більше за 80 на 25 %, а 80 менше за 100 на 20 %

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Щоб дізнатися, на скільки відсотків одне число більше чи менше за інше, різницю ділять на те число, з яким порівнюють, і множать на 100 %. Це число стоїть після слова «за». Число 100 більше за 80 на 20, і ці 20 становлять чверть від 80, тобто 25 %. Навпаки, 80 менше за 100 на ті самі 20, але тепер ділимо на 100 і отримуємо 20 %.

Будь-яку зміну у відсотках зручно записувати множником. Збільшити на 25 % означає помножити на 1,25, зменшити на 20 % означає помножити на 0,8, а щоб повернути початкове число, на множник ділять. Тому товар, який після подорожчання на 25 % коштує 150 грн, раніше коштував 120 грн. Не 112,5 грн, як виходить, коли від 150 віднімають 25 %.

Різниця та сама, а ціле інше

Стовпчики на діаграмі відрізняються на 20 одиниць, і саме ці 20 ми порівнюємо з різними цілими.

У фразі «100 більше за 80» ціле це 80, і 20 становлять його чверть. У фразі «80 менше за 100» ціле вже 100, і ті самі 20 це лише п'ята частина. Звідси 25 % в одному випадку та 20 % в іншому.

Що більша різниця, то сильніше розходяться відсотки. Число 200 більше за 100 на 100 %, а 100 менше за 200 лише на 50 %. Для двох різних додатних чисел відсоток «більше» завжди більший за відсоток «менше», бо ту саму різницю ділять на менше число.

Кожну зміну можна записати множником

Збільшити число на p % означає додати до нього p % від нього самого. Разом виходить 100 % + p % від числа, тобто число множиться на 1 плюс p сотих. Зменшення працює так само, тільки множник менший за одиницю.

З множника одразу видно, що сталося з числом. Якщо він більший за 1, число зросло, якщо менший, зменшилося. Множник 1,07 означає зростання на 7 %, а 0,93 спад на ті самі 7 %. Чому 7 % дорівнюють 0,07 і як узагалі знаходити відсоток від числа, пояснює стаття про відсотки.

Як повернути початкову ціну

Ціна після подорожчання на 25 % становить 150 грн. Якою вона була до подорожчання?

Рука сама тягнеться відняти від 150 його 25 %, і виходить 112,5. Але 25 % нараховували від старої ціни, а не від нової. Стара ціна, помножена на 1,25, дає 150, тому її знаходять діленням 150 на 1,25, і це 120 грн. Перевірка множенням це підтверджує, а 112,5 · 1,25 дає лише 140,625.

Дві зміни поспіль

Ціна, що двічі зросла на 10 %, зросла не на 20 %, а на 21 %. Друге подорожчання рахують уже від нової ціни, тому множники перемножують.

Друга схема ще раз пояснює заголовок. Подорожчання на 25 % і подальша знижка на 20 % повертають ціну точно до початкової, бо 1,25 · 0,8 = 1, і з тієї ж причини ділення на 1,25 можна замінити множенням на 0,8. За тим самим правилом ціна, яку спершу підняли на 20 %, а потім знизили на 20 %, становить лише 96 % від початкової, і про таку пастку варто пам'ятати в текстових задачах на НМТ. Коли ж та сама зміна повторюється багато разів, множник підносять до степеня, і це вже складні відсотки.

Два завдання ЗНО-2020, де все вирішує ціле

У завданнях з відкритою відповіддю варіантів немає, тож неправильно вибране ціле нічим себе не видасть. Спершу шукайте в умові, від чого саме просять знайти відсоток, і лише потім діліть.

Завдання 25 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

За акцією карта пам'яті безкоштовна, а чохол дешевшає на п'яту частину, тобто на 20 %, і коштує 200 · 0,8 = 160 грн. Разом P = 4500 + 160 = 4660 грн. Ціле в другій частині названо прямо, це сума без акції, 4500 + 200 + 300 = 5000 грн. Ділимо 4660 на 5000, отримуємо 0,932, тобто 93,2 %.

Тут дві пастки. Якщо поділити 5000 на 4660, вийде близько 107,3 %, бо за ціле взято не те число. А відповідь 6,8 % показує, на скільки відсотків Михайло заощадив, хоча питали, скільки відсотків від повної суми становить P.

Завдання 25 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

За 6 діб норма становить 300 км, тож понад норму автомобіль проїхав 120 км, і P = 120 · 6 = 720 грн. Хто забуде, що норма діє щодоби, і відніме від 420 лише 50 км, отримає 2220 грн. У другій частині ціле це основна плата за всі 6 діб, тобто 2400 грн. Сума 720 грн становить 0,3 від неї, тобто 30 %.

Інше ціле дає іншу відповідь. Якщо поділити на плату за одну добу, вийде 180 %, а якщо на всю вартість оренди, 3120 грн, приблизно 23,1 %.

Чому я раджу думати множниками

Будь-яку фразу на кшталт «подорожчало на 12 %» чи «знизили на 30 %» я раджу одразу записувати множником, 1,12 або 0,7. Далі вся тема зводиться до множення й ділення. Ланцюжок змін перемножується, початкову ціну повертає ділення, а відповідь на питання «на скільки відсотків» читається з самого множника.

Головна перевага в тому, що множник завжди застосовують до попереднього значення, тож помилитися з цілим важче. З досвіду занять можу сказати, що з множниками учні рідше плутають, від чого рахувати відсоток. Неправильне ціле не єдина помилка, яка коштує балів, інші зібрано в статті про найчастіші помилки на НМТ з математики.

Шість задач на порівняння й зміну

Стрілка веде від старого значення до нового, над нею записано зміну. Знак питання стоїть там, де шукана відповідь, а квадратик позначає проміжне значення.

Відповіді

Якщо в четвертому вийшло 504, ви відняли 20 % від 630, а треба було поділити 630 на 1,2. Якщо в п'ятому вийшло −20 %, відсотки додали замість того, щоб перемножити множники 0,9 і 0,9.

Щоб закріпити тему

Перевірити себе можна в безкоштовному тесті «Відношення, пропорції та відсотки» і в тренажері «Відсотки». Означення зручно повторювати за флешкартками, а більше задач за темою зібрано в PDF-збірнику.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Обидва завдання взято з основної й додаткової сесій ЗНО-2020 на testportal.gov.ua, розв'язки звірено з ключами УЦОЯО, а відповіді до всіх вправ перевірено окремим розрахунком.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 6 жовтня 2026 року. Правила порівняння у відсотках від формату іспиту не залежать, а модель НМТ-2027 на цю дату ще не визначена.