Факторіал. Таблиця від 0! до 20! і чому 0! дорівнює 1

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Факторіал натурального числа n позначають n! і обчислюють як добуток усіх натуральних чисел від 1 до n. Так, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120, 6! = 720, 7! = 5040, а 10! = 3 628 800. Для нуля окремо прийнято 0! = 1, і це значення випливає з тих самих правил, за якими будують решту таблиці.

Росте факторіал дуже швидко. Уже 10! секунд становить рівно шість тижнів, а 20! = 2 432 902 008 176 640 000 записується дев'ятнадцятьма цифрами. Повну таблицю від 0! до 20! пораховано точно, без округлень.

Кожен рядок отримують із попереднього одним множенням, бо n! = n · (n − 1)!. Звідси 8! = 8 · 5040 = 40 320 і 9! = 9 · 40 320 = 362 880. У задачах найчастіше трапляються 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 і 6! = 720.

Синім виділено нулі в кінці. Новий нуль з'являється на 5!, 10!, 15! і 20!, тобто щоразу, коли серед множників додається ще одне число, кратне п'яти. Для орієнтиру, 12! = 479 001 600 уже більше за чотириста мільйонів, а 13! = 6 227 020 800 перевищує шість мільярдів.

Що рахує факторіал

Факторіал відповідає на питання, скількома способами можна розставити n різних предметів у ряд. Візьмемо букви a, b, c. На перше місце годиться будь-яка з трьох, на друге одна з двох, що лишилися, а на третє остання. Разом 3 · 2 · 1 = 6 порядків.

Для n предметів міркування те саме, тому кількість перестановок Pₙ = n!. Саме так факторіал і записано в довідкових матеріалах НМТ.

Звідки береться 0! = 1

Таблицю можна читати й знизу вгору. Тоді 3! дорівнює 4!, поділеному на 4, і справді 24 поділити на 4 дає 6. Так само 2! отримуємо діленням 6 на 3, а 1! діленням 2 на 2. Ще один крок, ділення 1! на 1, дає 0! = 1.

Те саме видно з правила n! = n · (n − 1)!. При n = 1 воно дає 1! = 1 · 0!, і ця рівність правильна лише тоді, коли 0! = 1. Є й пояснення через перестановки. Розставити нуль предметів можна одним способом, нічого не переставляючи.

Для задач найважливіше те, що в нижніх рядках схеми. Вибрати всі n предметів із n можна одним способом, і формула дає Cₙⁿ = 1 лише тоді, коли в знаменнику 0! = 1. З будь-яким іншим значенням формули комбінацій і розміщень суперечили б самі собі.

Розділ «Комбінаторика» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці є Pₙ = n! і формули для комбінацій і розміщень, але про 0! там не сказано нічого. Тим часом знаменник (n − k)! перетворюється на 0! щоразу, коли k = n. Тож домовленість 0! = 1 доведеться пам'ятати самому. Як відрізнити комбінації від розміщень, пояснює стаття про розміщення, комбінації й перестановки.

Дроби з факторіалами скорочують

Щоб поділити 12! на 10!, не треба перемножувати дванадцять чисел. Досить записати 12! = 12 · 11 · 10!, і 10! скоротиться, а лишиться 12 · 11 = 132. Так само скорочується будь-який дріб, де в знаменнику стоїть менший факторіал.

Третій рядок дає кількість способів вибрати 3 предмети з 8, тобто C₈³ = 56. Без скорочення довелося б ділити 40 320 на добуток 6 і 120, а так лишається по три множники зверху й знизу.

Я раджу ніколи не підставляти в такі дроби готові значення з таблиці. Поділити 479 001 600 на 3 628 800 без калькулятора довго, і помилитися тут дуже просто, а скорочення дає 132 за кілька секунд. Напам'ять, на мою думку, досить знати факторіали до 7! включно, тобто до 5040. Більші в шкільних задачах зазвичай скорочуються.

Два завдання ЗНО на правило добутку

У програмі ЗНО з математики перестановки, комбінації й розміщення без повторень разом із правилами суми й добутку стоять у колонці рівня стандарту. Колонки тільки для профільного рівня в цьому рядку порожні.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності; окремі колонки для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Завдання 29 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Гурти виступають першими, і впорядкувати їх можна 3! = 6 способами. Після них виступають солісти, для яких є 4! = 24 порядки. Кожен порядок гуртів поєднується з кожним порядком солістів, тому послідовностей 3! · 4! = 6 · 24 = 144.

Хто пропустить умову, що спочатку виступають гурти, порахує перестановки всіх сімох фіналістів і отримає 7! = 5040. А 3! + 4! = 30 виходить, якщо кількості додати. Додають тоді, коли вибирають щось одне з двох груп, а тут упорядковують і гурти, і солістів.

Завдання 8 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Піднятися можна будь-якою з 5 доріг, а спуститися будь-якою з 4 інших, тому маршрутів 5 · 4 = 20, відповідь Г. Це розміщення A₅², і 5! поділити на 3! після скорочення якраз дає 5 · 4.

Варіант Д, 25 = 5 · 5, виходить, якщо дозволити спуск тією самою дорогою. Варіант В з'являється, якщо рахувати пари доріг, не розрізняючи, котра для підйому, а котра для спуску, тобто взяти C₅² = 10 замість A₅² = 20. Варіант Б, 9 = 5 + 4, знову плутає правило суми з правилом добутку.

Нулі в кінці й інші несподіванки

Кожен нуль у кінці числа означає множник 10 = 2 · 5. Двійок серед множників 20! більш ніж досить, тож нулів стільки, скільки п'ятірок. П'ятірки дають лише 5, 10, 15 і 20, тому 20! закінчується чотирма нулями. У 25! нулів уже шість, бо 25 = 5 · 5 містить одразу дві п'ятірки. Про розкладання на прості множники є окрема стаття про прості й складені числа.

Кількість способів перетасувати колоду з 52 карт дорівнює 52!, і в цьому числі 68 цифр. Число 70! уже більше за гугол, тобто за 10¹⁰⁰, а 69! ще менше від нього. У шести тижнях 6 · 7 · 24 · 60 · 60 = 3 628 800 секунд, і це в точності 10!, добуток перших десяти натуральних чисел. Інші числа, що вражають розміром, зібрано в статті про математичні дива й цікаві факти.

Вісім прикладів без таблиці

Скорочуйте дроби замість того, щоб множити великі числа. У сьомому знайдіть натуральне n. У восьмому треба знайти кількість k нулів у кінці запису 30!, не обчислюючи сам факторіал.

Відповіді

Відповідь 2 у першому означає, що 7! поділити на 5! записали як 2!, віднявши числа під знаком факторіала. Якщо у восьмому вийшло 6, ви не врахували, що 25 містить дві п'ятірки.

Ще задачі на перестановки й комбінації

Завдання у форматі НМТ з цієї теми є в тесті «Елементи комбінаторики». Позначення й формули зручно повторювати за флешкартками, а більше розв'язаних задач зібрано в PDF-збірнику з комбінаторики. Якщо далі йдуть задачі на ймовірність, знадобиться стаття про класичну ймовірність, бо кількість усіх наслідків там часто рахують саме через факторіал.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2019 і ЗНО-2020, формули з довідкових матеріалів НМТ-2026, а кожне значення в таблицях факторіалів і відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма зовнішнього незалежного оцінювання з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Формули комбінаторики наведено так, як у довідкових матеріалах НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.