Обернені тригонометричні функції. Чому arcsin(sin 3) дорівнює π − 3, а не 3

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Арксинус числа a це кут від −90° до 90°, синус якого дорівнює a, причому саме число a береться від −1 до 1. Арккосинус шукають від 0° до 180°, арктангенс строго між −90° і 90°, арккотангенс строго між 0° і 180°. У радіанах межі ті самі, просто 90° записують як половину π, а 180° як π.

Тому arcsin(sin 3) не дорівнює 3. Число 3 більше за половину π ≈ 1,571 і в проміжок арксинуса не потрапляє. Відповідь дає інший кут з тим самим синусом, π − 3 ≈ 0,1416, і він майже дорівнює самому sin 3 ≈ 0,1411.

Проміжки вибрано так, щоб кут визначався однозначно. На правій половині кола синус зростає від −1 до 1 і набуває кожного значення рівно один раз. Косинус так само поводиться на верхній половині, тільки спадає від 1 до −1. На малюнку arcsin 0,5 відповідає куту 30°, а arccos(−0,5) куту 120°.

Звідки береться π − 3

Число 3 тут означає 3 радіани, тобто приблизно 171,9°. Як переводити радіани в градуси, пояснює стаття про радіанну міру кута.

Точка, що відповідає куту 3, лежить у другій чверті, майже на від'ємній півосі абсцис. Горизонтальна пряма через неї перетинає праву половину кола в точці з тим самим синусом, і кут цієї точки дорівнює π − 3. Саме він лежить у проміжку арксинуса. Кут малий, близько 8°, а для малих кутів синус майже дорівнює самому куту в радіанах, звідси й збіг 0,1416 і 0,1411.

Інші аркфункції працюють так само, тільки симетрія інша. Число 5 більше за π, тому arccos(cos 5) шукаємо через симетрію відносно осі абсцис і отримуємо 2π − 5 ≈ 1,283. Тангенс повторюється через π, тому arctg(tg 2) = 2 − π ≈ −1,142, а не 2. А зворотний порядок завжди безпечний, sin(arcsin a) = a для будь-якого a від −1 до 1.

Таблиця значень, прочитана навпаки

Значення аркфункцій для табличних кутів беруть із таблиці синусів і косинусів, лише читають її справа наліво.

Найчастіше потрібні чотири значення. Це arcsin 0,5, що дорівнює шостій частині π (30°), arccos(−0,5), що дорівнює двом третинам π (120°), arctg 1, тобто чверть π (45°), і arccos 0, тобто половина π (90°). Саму таблицю синусів і косинусів, з якої все це читається, зібрано в статті про таблицю значень тригонометричних функцій.

Графіки як віддзеркалення синуса, косинуса й тангенса

Графік арксинуса це шматок синусоїди від −90° до 90°, віддзеркалений відносно прямої y = x.

Кожна точка (x; y) синусоїди переходить у точку (y; x). Тому область визначення арксинуса, відрізок від −1 до 1, збігається з областю значень синуса. Арккосинус так само віддзеркалює косинус на відрізку від 0 до π і через це спадає. Як будувати самі синусоїду й тангенсоїду, пояснює стаття про графіки тригонометричних функцій.

Тангенс на інтервалі від −90° до 90° набуває всіх дійсних значень, тому арктангенс визначено для будь-якого числа. Зате його значення обмежені. Графік наближається до горизонтальних прямих на висоті половини π над віссю абсцис і під нею, але не досягає їх. Навіть arctg 1000 відповідає куту лише близько 89,94°.

Тотожності для від'ємних чисел і сум

Арксинус і арктангенс непарні, а арккосинус і арккотангенс ні. Тому arccos(−0,5) дорівнює π мінус третина π, тобто двом третинам π, а не мінус третині π. Від'ємного арккосинуса не буває взагалі, і це найшвидша перевірка відповіді.

Сума арксинуса й арккосинуса одного числа завжди дорівнює половині π. Якщо синус кута t дорівнює a, то косинус кута 90° − t теж дорівнює a, а цей кут лежить якраз у проміжку арккосинуса. З арктангенсом і арккотангенсом те саме.

Друга частина картинки показує, де аркфункції трапляються найчастіше. Це формули коренів найпростіших рівнянь. Рівняння sin x = 0,3 має корені x = (−1)ᵏ arcsin 0,3 + πk, і без арксинуса їх не записати. Як відбирати такі корені, пояснює стаття про тригонометричні рівняння, а нерівності розібрано в статті про тригонометричні нерівності.

Що кажуть програма й довідка НМТ

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Функції». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, окремо для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

У назві цього рядка програми перелічено лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції. Обернених тригонометричних функцій у назві рядка немає. Означення функції, оберненої до заданої, стоїть лише в колонці профільного рівня.

У довідці НМТ-2026 обернених тригонометричних функцій теж немає, тож таблицю аркфункцій доведеться відновлювати з таблиці синусів. Іншу обернену пару, показникову функцію й логарифм, так само віддзеркалено відносно прямої y = x, про це стаття про логарифмічну функцію.

Як я раджу тримати проміжки в голові

Я б не вчив окрему таблицю аркфункцій. Достатньо таблиці синусів і двох півкіл. Права половина кола відповідає арксинусу й арктангенсу, верхня арккосинусу й арккотангенсу.

Перед тим як записати відповідь, я раджу перевірити одне. Чи лежить знайдений кут на потрібній половині кола? Ця перевірка відсіює і arcsin(sin 3) = 3, і від'ємний арккосинус, і кут 150° як арксинус 0,5.

Шість прикладів на проміжки й тотожності

У п'ятому й шостому спершу перевірте, чи лежить кут у потрібному проміжку.

Третій приклад рахується без таблиці, хоча ні arcsin 0,3, ні arccos 0,3 окремо не табличні.

Відповіді

Мінус чверть π у другому означає, що до арккосинуса застосували правило арксинуса. Відповіді −1 у п'ятому і 2 в шостому з'являються, коли кут не перевірили на проміжок, а −0,8 у четвертому неможливе, бо кут arccos 0,6 лежить на верхній половині кола, де синус додатний.

Тест і картки з тригонометричних рівнянь

Аркфункції найчастіше потрібні в рівняннях, тому тренуватися зручно на безкоштовному тесті «Тригонометричні рівняння». Для повторення є флешкартки й PDF-збірник з тієї самої теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Фрагмент програми взято з наказу МОН № 1513 на testportal.gov.ua, а значення в таблицях, приклади на кшталт π − 3 і відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 7 жовтня 2026 року. Довідку описано за демонстраційним варіантом НМТ-2026, а що міститимуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.