Графіки тригонометричних функцій: п'ять точок на період і жодних таблиць

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Графік синуса це хвиля, яка повторюється кожні 2π і коливається між −1 і 1. Щоб намалювати один період, досить п'яти точок: нулі в точках 0, π і 2π, найвища точка при π поділене на 2 і найнижча при 3π поділене на 2. Графік косинуса це та сама хвиля, зсунута на π поділене на 2 ліворуч. Тангенс виглядає зовсім інакше: його період π, а в точках π поділене на 2 плюс πk графік «розривається» вертикальними асимптотами.

Найкорисніша властивість цих графіків на тесті це періодичність. В одному із завдань ЗНО-2018 треба було знайти точку графіка з абсцисою 5π, маючи малюнок лише до 5π поділене на 2. Жодних формул не потрібно: значення через період повторюються, тож досить відняти два періоди.

П'ять точок на період

На малюнку синуси й косинуси разом. Помаранчеві точки відмічають саме ці п'ять опорних точок для синуса на проміжку від 0 до 2π. Між ними хвиля плавна, біля вершин пологіша, а біля осі x найкрутіша.

Видно й зсув. Косинус досягає максимуму в нулі, синус на чверть періоду пізніше. Звідси формула зведення: косинус x дорівнює синусу від x плюс π поділене на 2.

У таблиці зібрано головне для обох функцій. Зверніть увагу на парність: синус непарний, його графік симетричний відносно початку координат, а косинус парний і симетричний відносно осі y. Це видно на малюнку без жодних обчислень.

Тангенс: період удвічі менший

Тангенс це синус, поділений на косинус. Там, де косинус дорівнює нулю, тангенс не існує, і графік має вертикальні асимптоти. Між ними тангенс зростає від мінус нескінченності до плюс нескінченності, а потім усе повторюється. Тому період тангенса π, а не 2π.

Завдання ЗНО-2018 про періодичну функцію

Завдання 17 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Спершу впізнаймо графік: нуль у точці π поділене на 2, мінімум −1 у точці π, максимум 1 у точці 2π. Це фрагмент косинуса. Але навіть без цього здогаду задачу можна розв'язати. Функція має період 2π, отже f(5π) дорівнює f(5π мінус 4π), тобто f(π). На малюнку f(π) = −1. Тому графіку належить точка (5π; −1), відповідь Д.

Розгляньмо пастки. У варіантах А і В переставлено абсцису й ординату: значення 2π чи 5π не може бути ординатою, бо функція набуває значень лише від −1 до 1. Варіанти Б і Г ловлять тих, хто вирішив, що в точках, кратних π, функція дорівнює нулю, як у синуса. Для цього графіка це не так.

Розтяги і зсуви

У завданнях часто трапляються не сам синус, а щось на кшталт y = 2 sin 3x або y = cos x мінус 1. Тут допомагає одне правило: множник перед функцією змінює висоту хвилі, множник перед x змінює її довжину, а число, додане до функції, піднімає або опускає графік.

Найчастіше помиляються з періодом. Множник 3 перед x не збільшує період утричі, а зменшує: хвиля стискається вздовж осі x. Тому період функції y = 2 sin 3x дорівнює 2π поділене на 3. Докладно про перетворення графіків, зокрема зсуви вздовж осей, ми писали в статті про функції та графіки на НМТ.

Навіщо графік, коли є формули

Графік відповідає на запитання «скільки коренів», на які формула відповідає довго. Скільки розв'язків має рівняння синус x дорівнює 0,5 на відрізку від 0 до 4π? Пряма y = 0,5 перетинає кожну «гірку» синуса двічі, а гірок на цьому відрізку дві. Отже, чотири розв'язки. Порахувати те саме через загальну формулу коренів можна, але довше і з ризиком загубити один корінь. Про формули коренів розповідаємо в статті про тригонометричні рівняння.

Моя позиція тут проста: таблицю значень для побудови тригонометричного графіка я б не складав. П'ять точок і знання форми хвилі дають графік за хвилину, а таблиця з десятьма точками забирає п'ять і створює ілюзію точності, яка на тесті не потрібна.

6 запитань

У перших трьох знайдіть період, у четвертому й п'ятому множину значень, у шостому кількість коренів.

Відповіді

Якщо помилилися в другому, перечитайте абзац про множник перед x. Загальні властивості функцій за графіком, зокрема парність і монотонність, розібрано в статті про властивості функції за графіком, а кути в радіанах у статті про радіанну міру.

Більше практики

Безкоштовний тест за темою «Побудова графіків методом перетворень» і однойменна колода флешкарток.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 на testportal.gov.ua, відповідь звірено з ключем УЦОЯО, графіки в статті побудовано за точними формулами.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Побудова графіків тригонометричних функцій є в чинній програмі на рівні стандарту; щодо НМТ-2027 офіційних рішень на цю дату немає.