Тригонометричні рівняння: усе зводиться до трьох найпростіших, а бали губляться на періоді

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Будь-яке шкільне тригонометричне рівняння зрештою зводиться до одного з трьох найпростіших: синус x дорівнює a, косинус x дорівнює a або тангенс x дорівнює a. Для кожного є готова формула коренів, і її треба знати напам'ять. Решта прийомів, заміна змінної, формули зведення чи ділення на косинус, потрібні лише для того, щоб дійти до одного з цих трьох рівнянь.

Найбільше балів губиться не на формулах, а на періоді. Коли під знаком функції стоїть 3x, а не x, ділити на 3 треба все, разом із доданком 2πk. У завданні ЗНО-2019 саме ця деталь відрізняє правильну відповідь від кількох дуже схожих неправильних.

Зверніть увагу на періоди: у синуса і косинуса 2πk, у тангенса πk. Для синуса формула з множником (−1) у степені k компактна, але її зручно розписати двома серіями, про це трохи нижче. А для значень 0, 1 і −1 загальні формули дають правильні відповіді, але громіздкі, тому для них краще пам'ятати окремі записи.

Головні значення арксинуса й арккосинуса беруться з тієї самої таблиці, що в довіднику НМТ, тільки читаються навпаки. Важливо пам'ятати дві властивості: арксинус від'ємного числа дорівнює мінус арксинусу, а арккосинус від'ємного числа дорівнює π мінус арккосинус. Тому арккосинус мінус одної другої дорівнює 2π поділене на 3, а не мінус π поділене на 3.

Пастка з 3x: завдання ЗНО-2019

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Розв'язуємо як найпростіше рівняння, вважаючи невідомою весь вираз 3x: 3x дорівнює плюс-мінус π поділене на 3 плюс 2πk. Тепер ділимо на 3 обидва доданки. Перший дає π поділене на 9, другий 2πk поділене на 3. Правильна відповідь А.

Варіант Д виглядає майже так само, але період у ньому вдвічі менший. Так виходить, якщо для косинуса взяти період πk замість 2πk, а вже потім поділити на 3. Варіант Г використовує формулу синуса замість косинуса. Б і В ловлять тих, хто множив на 3 замість ділити.

Тангенс і його період: завдання ЗНО-2016

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Синус, поділений на косинус, це тангенс. Отже, 3 тангенс x дорівнює кореню з трьох, тангенс x дорівнює кореню з трьох поділене на 3, а це тангенс π поділене на 6. Відповідь Д: π поділене на 6 плюс πn.

Варіант В має правильний кут, але неправильний період 2πn. Половина коренів при цьому губиться, наприклад 7π поділене на 6. Варіант А побудовано за формулою для косинуса, Б за тангенсом кореня з трьох, якщо забути поділити на 3.

Коли рівняння квадратне відносно синуса

Якщо в рівнянні є і квадрат синуса, і сам синус, роблять заміну. Якщо поруч стоять квадрат косинуса і синус, спершу замінюють квадрат косинуса на одиницю мінус квадрат синуса, щоб у рівнянні залишилася одна функція.

Нова змінна дорівнює синусу, тому вона не може вийти за межі від −1 до 1. У другому прикладі корінь t = 2 відкидаємо одразу, і рівняння має лише одну серію розв'язків.

Ділення на косинус

Рівняння, де синус дорівнює кореню з трьох, помноженому на косинус, розв'язують діленням обох частин на косинус. Але спершу треба переконатися, що косинус не дорівнює нулю: якби він дорівнював нулю, з рівняння випливало б, що й синус нуль, а одночасно синус і косинус нулю не дорівнюють. Тому ділити можна, отримуємо тангенс x дорівнює кореню з трьох, тобто x дорівнює π поділене на 3 плюс πk.

Скільки коренів на відрізку: НМТ-2026

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 рівняння дали найпростіше, але запитали кількість коренів.

Завдання 11 демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Косинус дорівнює нулю в точках π поділене на 2 плюс πk. На відрізку від 0 до 2π таких точок дві: π поділене на 2 і 3π поділене на 2. Правильна відповідь В, і вона збігається з офіційною. Перевірити можна й на одиничному колі: косинус це абсциса точки, нульова абсциса лише у верхньої і нижньої точок кола, а відрізок від 0 до 2π обходить коло рівно один раз.

Моя порада щодо синуса

Формулу з (−1) у степені k я раджу замінити двома серіями: x дорівнює арксинусу a плюс 2πk і x дорівнює π мінус арксинус a плюс 2πk. Це той самий набір коренів, але в такому записі не треба думати про парність k, і набагато легше відбирати корені на відрізку. На тесті відповідь можуть подати в будь-якому вигляді, тож варто впізнавати обидва.

Ще одна програмна деталь. У програмі ЗНО з математики найпростіші тригонометричні рівняння віднесено до рівня стандарту, а розв'язування складніших рівнянь і нерівностей до профільного. Тригонометричним нерівностям присвячено окрему статтю про тригонометричні нерівності.

8 рівнянь для тренування

У четвертому і п'ятому не забудьте поділити або помножити період. Сьоме розв'язується за секунду.

Відповіді

Якщо плутаєте, де на колі які кути, поверніться до статті про радіанну міру. Кількість коренів зручно перевіряти за графіком, про це стаття про графіки тригонометричних функцій. А загальний план підготовки з цієї частини програми є в огляді тригонометрії на НМТ.

Порозв'язувати ще

Безкоштовний тест «Тригонометричні рівняння», колода флешкарток і PDF-набір з тригонометричних рівнянь.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО і демонстраційного варіанта НМТ на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а розв'язки вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття опублікована 5 жовтня 2026 року. Найпростіші тригонометричні рівняння є в чинній програмі; чи залишиться формат НМТ-2027 таким самим, як у 2026 році, на цю дату не визначено.