Тригонометричні нерівності: дуга на колі замість формули

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Найпростішу тригонометричну нерівність розв'язують на одиничному колі. Спершу знаходять точки, де функція дорівнює заданому числу, потім виділяють дугу, на якій нерівність виконується, записують її кінці в напрямку проти годинникової стрілки і додають період: 2πk для синуса й косинуса, πk для тангенса. Формула тут не потрібна, потрібен малюнок.

Головна пастка в записі кінців дуги. Нерівність косинус x більше за одну другу має розв'язок від −π поділене на 3 до π поділене на 3, а не від π поділене на 3 до 5π поділене на 3. Другий проміжок теж виглядає правдоподібно, але це розв'язок протилежної нерівності.

Одиничне коло з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Чому саме коло

На малюнку з довідника видно все необхідне. Синус кута це ордината точки на колі, тобто її висота. Косинус це абсциса, тобто зсув праворуч чи ліворуч. Тому нерівність для синуса перетворюється на запитання «які точки кола лежать вище або нижче горизонтальної прямої», а для косинуса «які точки лежать правіше або лівіше вертикальної прямої». На такі запитання відповідає погляд на малюнок.

П'ять кроків

1. Замініть знак нерівності на рівність і знайдіть на колі точки, де функція дорівнює заданому числу.
2. Проведіть через ці точки пряму: горизонтальну для синуса, вертикальну для косинуса.
3. Виділіть дугу, на якій нерівність виконується: вище чи нижче прямої для синуса, правіше чи лівіше для косинуса.
4. Запишіть кінці дуги так, щоб рух від лівого кінця до правого проти годинникової стрілки йшов саме по виділеній дузі.
5. Додайте до обох кінців період і вирішіть, які дужки ставити: квадратні для нестрогої нерівності, круглі для строгої.

Приклад із синусом

Розв'яжемо нерівність синус x не менше за одну другу. Проводимо горизонтальну пряму на висоті одна друга. Вона перетинає коло в точках π поділене на 6 і 5π поділене на 6. Нерівність виконується для точок, що лежать на прямій або вище, тобто на верхній дузі між цими точками.

Ідемо від меншого кута до більшого проти годинникової стрілки: від π поділене на 6 до 5π поділене на 6. Кінці включаємо, бо нерівність нестрога. Додаємо 2πk до обох кінців, і відповідь готова.

Приклад із косинусом і та сама пастка

Тепер косинус x більше за одну другу. Пряма вертикальна, x дорівнює одній другій, вона перетинає коло в точках π поділене на 3 і −π поділене на 3. Потрібні точки, що лежать правіше, тобто дуга, яка проходить через нуль.

Якщо записати кінці як π поділене на 3 і 5π поділене на 3, рухаючись проти годинникової стрілки від першого кінця до другого, ми пройдемо ліву частину кола. Там косинус менший за одну другу. Щоб пройти потрібну праву дугу проти годинникової стрілки, починати треба з −π поділене на 3. Правило просте: лівий кінець проміжку повинен бути меншим за правий, і рух від лівого до правого має йти саме по виділеній дузі.

Тангенс і особливі випадки

Для тангенса зручніше думати про графік або про півколо. Тангенс зростає на кожному проміжку від −π поділене на 2 до π поділене на 2, тому нерівність тангенс x більше за одиницю виконується від π поділене на 4 до π поділене на 2. Правий кінець не включаємо ніколи, бо там тангенс не існує. Період πk, а не 2πk.

Окремо запам'ятайте нерівності, де число виходить за межі від −1 до 1. Синус більший за 1 не буває ніколи, тож розв'язків немає. А синус не більший за 1 завжди, тож розв'язком є всі дійсні числа. Таке трапляється в тестах як перевірка на уважність.

Чи буде це на НМТ

Відповідь дає сама програма. Ось фрагмент програми ЗНО з математики 2019 року, на яку посилається характеристика НМТ-2026.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Рівняння, нерівності та їх системи». Ліворуч уміння для рівня стандарту і профільного рівня, праворуч лише для профільного. Джерело: testportal.gov.ua.

У лівій колонці мова про найпростіші нерівності зі степеневими, показниковими і логарифмічними виразами. Тригонометричні нерівності згадано лише в правій, профільній колонці. У демонстраційному варіанті НМТ-2026 такого завдання теж немає. Проте я б цю тему не пропускав: точно так само на колі відбирають корені тригонометричних рівнянь на відрізку, а це вже звичайне тестове завдання. Тож усе, що ви тут потренуєте, знадобиться в статті про тригонометричні рівняння.

І ще одна моя порада. Графіком синуса чи косинуса для нерівностей я б не користувався: на графіку легко загубити, де закінчується один період і починається інший. Коло компактніше, а помилки на ньому видно одразу. Для тангенса навпаки, графік або півколо зручніші.

6 нерівностей

Для кожної спершу намалюйте коло. У п'ятій згадайте, що тангенс не існує в точці π поділене на 2.

Відповіді

Якщо четверта вийшла з неправильними кінцями, поверніться до прикладу з косинусом. Кути на колі і переведення в радіани розібрано в статті про радіанну міру кута, а графіки всіх трьох функцій у статті про графіки тригонометричних функцій. Як ця частина програми виглядає на тесті в цілому, читайте в огляді тригонометрії на НМТ.

Де ще потренуватися

Безкоштовний тест «Тригонометричні рівняння» і колода флешкарток з тієї самої теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Статус теми в програмі взято безпосередньо з тексту наказу МОН № 1513, оприлюдненого на testportal.gov.ua, а розв'язки нерівностей перевірено чисельно.

Офіційні джерела

• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Тригонометричні нерівності за програмою 2019 року належать до профільного рівня; чи зміниться перелік тем НМТ-2027, на цю дату не відомо.