Радіанна міра кута: чому π радіан це 180 градусів, але π не дорівнює 180

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Радіан це центральний кут, який спирається на дугу завдовжки з радіус. Повне коло містить 2π радіан, тому π радіан відповідає 180 градусам, а один радіан приблизно 57,3 градуса. Щоб перевести градуси в радіани, множать на π і ділять на 180, для зворотного переходу навпаки.

Тепер те, що варто запам'ятати назавжди: π радіан дорівнює 180 градусам, але саме число π дорівнює приблизно 3,14, а не 180. Плутанина між «кутом π» і «числом π» дає найдивніші помилки, наприклад синус одиниці, порахований як синус одного градуса. Синус одного радіана близько 0,84, а синус одного градуса близько 0,017. Різниця майже в п'ятдесят разів.

Звідки взявся радіан

На малюнку дуга AB має ту саму довжину, що й радіус. Кут AOB і є один радіан. Скільки таких дуг уміщується в колі? Довжина кола 2πR, тобто 2π радіусів, звідси й 2π радіан у повному оберті. Ніякої домовленості тут немає, радіанна міра природно випливає з довжини кола.

Саме тому градуси в старших класах поступово зникають. Градус придумали люди, поділивши коло на 360 частин, а радіан «закладено» в саме коло. Через це формули аналізу, наприклад похідна синуса, що дорівнює косинусу, правильні лише для кутів у радіанах.

Як переводити в обидва боки

Досить пам'ятати одну пропорцію: π відповідає 180 градусам. Решта це множення.

Останній рядок показує, що кут у радіанах не мусить містити π. Кут 1,5 радіана цілком законний, просто це приблизно 86 градусів, трохи менше за прямий кут, бо прямий кут дорівнює π поділене на 2, тобто приблизно 1,57.

Що є в довіднику НМТ

На тесті таблицю основних кутів можна подивитися в довідкових матеріалах. Ось як вона виглядає в демонстраційному варіанті НМТ-2026.

Таблиця значень тригонометричних функцій з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У таблиці є кути лише від 0 до 2π. Значень для 120, 135 чи 150 градусів тут немає, їх треба отримувати самостійно через формули зведення або через одиничне коло. Як саме, розбираємо в статті про формули зведення.

Одиничне коло

Той самий довідник містить і малюнок одиничного кола, тобто кола з радіусом 1 і центром у початку координат.

Одиничне коло з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО.

Кут відкладають від додатної півосі x проти годинникової стрілки. Точка на колі має координати (cos α; sin α): абсциса це косинус, ордината синус. Звідси одразу видно знаки в чвертях. У другій чверті точка ліворуч від осі y і вище за вісь x, тому косинус від'ємний, а синус додатний.

Щоб не рахувати кожного разу, корисно бачити основні кути на колі в радіанах. Ось вони всі разом.

Кути, більші за 2π, і від'ємні кути теж мають місце на колі. Кут 13π поділене на 6 це повний оберт плюс π поділене на 6, точка та сама, що й для π поділене на 6. Від'ємні кути відкладають за годинниковою стрілкою: кут −π поділене на 3 потрапляє в четверту чверть.

Довжина дуги і площа сектора

Ось де радіани економлять найбільше часу. З градусами формули довжини дуги і площі сектора містять 180 або 360 у знаменнику, а з радіанами вони коротші за таблицю множення.

Головна умова: кут у цих формулах має бути саме в радіанах. Якщо в прикладі підставити 60 замість π поділене на 3, дуга кола з радіусом 6 вийде завдовжки 360, хоча все коло має довжину лише близько 38. Дуга, довша за коло, це надійна ознака того, що кут забули перевести в радіани.

Моя порада

Я раджу якомога раніше перестати перекладати кожен кут у градуси. Відповіді до тригонометричних рівнянь на НМТ записують у радіанах, у довіднику кути теж подано в радіанах, і кожне зайве переведення це ще одна нагода помилитися. Достатньо кілька днів рахувати на колі з підписами з малюнка вище, і рука перестає тягнутися до градусів. Наступний крок після цієї теми це тригонометричні рівняння, де без радіанів не обійтися.

8 завдань для розминки

У шостому і сьомому кут заданий без π. Спершу переведіть його в градуси хоча б приблизно.

Відповіді

Загальний план підготовки з тригонометрії, з порядком тем і вагою в тесті, є в статті про тригонометрію на НМТ. Що ще є в довідкових матеріалах і чого там немає, розібрано в огляді довідника НМТ з математики.

Потренуватися

Безкоштовний тест за темою «Тригонометричні вирази» і колода флешкарток з цієї теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Фрагменти довідкових матеріалів узято з демонстраційного варіанта НМТ-2026 на сайті УЦОЯО, а наближені значення синусів перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, довідкові матеріали з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Радіанна міра кута входить до чинної програми, вимоги до НМТ-2027 на цю дату ще не оприлюднено.