Формули зведення: у довіднику НМТ їх шість, а знадобитися може будь-яка

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Формули зведення дозволяють замінити синус, косинус чи тангенс кута на кшталт π плюс α або 270° мінус α функцією самого кута α. Усі вони виводяться з одного правила з двох запитань. Перше: чи змінюється назва функції? Для кутів π поділене на 2 і 3π поділене на 2 змінюється, синус стає косинусом, тангенс котангенсом. Для π і 2π назва залишається. Друге: який знак? Той, який має початкова функція в чверті, куди потрапляє кут, якщо вважати α гострим.

Ось чому правило важливіше за таблицю. У довідкових матеріалах НМТ формул зведення лише шість, а різних комбінацій у задачах трапляється кілька десятків.

Фрагмент довідкових матеріалів НМТ-2026, розділ «Тригонометрія». Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Формули зведення тут займають три нижні рядки, по дві в кожному, і стосуються лише кутів 90° плюс α і 180° мінус α. Для 270° мінус α, для π плюс α чи для 2π мінус α готової формули на екрані не буде. Тобто правило з двох запитань доведеться тримати в голові в будь-якому разі.

Правило з двох запитань

Ось воно в одній картинці. Ліворуч кути, від яких відлічують α, праворуч що відбувається з назвою функції.

Знак визначають за початковою функцією, а не за тією, що вийшла. Це головна пастка. Візьмімо синус від 3π поділене на 2 мінус α. Кут лежить у третій чверті, синус там від'ємний, тому в результаті мінус. Назва змінюється, бо стоїть 3π поділене на 2. Разом мінус косинус α.

Зверніть увагу на третій рядок: тангенс змінився на котангенс, бо відлік іде від 3π поділене на 2, а знак мінус, бо кут потрапляє в четверту чверть, де тангенс від'ємний. І на четвертий: косинус від 2π мінус α не змінює ні назви, ні знака, бо в четвертій чверті косинус додатний.

Як укладачі ЗНО перевіряють саме це правило

Завдання 10 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Косинус від 90° плюс α дорівнює мінус синусу α, це видно і з довідника. Ділимо на синус α і отримуємо −1, правильна відповідь А.

Цікавіше подивитися на хибні варіанти, бо кожен з них відповідає конкретній помилці. Хто не змінить ні назви, ні знака, отримає косинус α поділене на синус α і вибере Б, котангенс. Хто змінить назву, але забуде про знак, отримає 1, тобто Д. Варіант Г виходить, якщо знак поставити правильно, а назву не змінити. Тобто три з п'яти варіантів побудовано рівно на двох запитаннях нашого правила.

Значення для кутів, яких немає в таблиці

У довіднику є таблиця значень лише для кутів першої чверті та кількох «прямих» кутів. Синус 150° чи косинус 210° отримують саме формулами зведення: подають кут як 180° мінус або плюс табличний кут.

Для кутів у четвертій чверті зручно відлічувати від 360°: тангенс 300° це тангенс 360° мінус 60°, назва не змінюється, а знак мінус, бо в четвертій чверті тангенс від'ємний.

Чому я не користуюся правилом коня

Багато хто запам'ятовує першу частину правила через «коня»: якщо кут відлічують від вертикальної осі, кінь киває головою вгору-вниз і погоджується змінити назву. Мнемоніка робоча, але я її не люблю. Учні плутають, куди саме кивав кінь, а коли кут записано в градусах, асоціація взагалі зникає. Надійніше швидко намалювати коло, позначити кут і подивитися дві речі: від якої осі ми відлічуємо і в якій чверті опинилися. Це займає п'ять секунд і не підводить.

8 вправ

Перші чотири на спрощення, решта на обчислення значень.

Відповіді

Якщо з четвертою виникли сумніви, перевірте знак: кут 3π поділене на 2 плюс α лежить у четвертій чверті, а косинус там додатний. Тему продовжують формули додавання і подвійного кута, їх у довіднику ще менше. Якщо ж плутаєте чверті й радіани, почніть зі статті про радіанну міру кута. А про те, як тримати в голові формули без зубріння, ми писали в статті про запам'ятовування формул.

Тренування на сайті

Безкоштовний тест за темою «Тригонометричні вирази», колода флешкарток і PDF-набір з тригонометричних виразів.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання і фрагмент довідника взято з матеріалів УЦОЯО на testportal.gov.ua, відповідь до завдання звірено з офіційним ключем.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації: 5 жовтня 2026 року. Формули зведення є в чинній програмі; яким буде довідник НМТ-2027, поки невідомо, тож орієнтуйтеся на версію 2026 року.