Формули додавання і подвійного кута: чотири рядки, яких немає в довіднику НМТ

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Формули додавання виражають синус, косинус і тангенс суми або різниці двох кутів через функції кожного з кутів окремо. Їх чотири основні: синус суми, синус різниці, косинус суми і косинус різниці, плюс тангенс суми й різниці. Формули подвійного кута виходять із них, якщо взяти два однакові кути.

Що варто знати перед тестом: у довідкових матеріалах НМТ є лише синус і косинус подвійного кута, причому косинус лише в одній з трьох форм. Самих формул додавання там немає взагалі. Тобто якраз ті рядки, на яких тримаються обчислення синуса 75° чи косинуса 15°, доведеться пам'ятати.

У косинусі знак у дужках протилежний знаку між кутами: косинус суми містить мінус, косинус різниці плюс. На цьому плутаються найчастіше.

Як перевірити себе за десять секунд

Якщо не впевнені у формулі, підставте кути, для яких відповідь відома. Наприклад, обидва кути по 45°. Синус 90° дорівнює 1, і формула синуса суми дає два добутки по корінь з двох поділене на два в квадраті, тобто дві половинки, разом 1. Збігається. Косинус 90° дорівнює нулю, і формула з мінусом дає половину мінус половину, нуль. Якби в косинусі суми стояв плюс, вийшла б одиниця, і помилка видна одразу.

Ще простіше перевірка другим кутом, рівним нулю: синус суми α і нуля має дорівнювати синусу α. Підставили, косинус нуля дорівнює одиниці, синус нуля нулю, усе зійшлося.

Синус 75° і косинус 15° без калькулятора

Найчастіше формули додавання потрібні, щоб порахувати значення для кутів, яких немає в таблиці. Кут 75° це 45° плюс 30°, а 15° це 45° мінус 30°.

Зверніть увагу, що синус 75° і косинус 15° вийшли однаковими. Це не збіг: 75° і 15° доповнюють один одного до 90°, а для таких кутів синус одного дорівнює косинусу другого. Про це розповідають формули зведення, яким присвячено окрему статтю про формули зведення.

Подвійний кут і зниження степеня

Якщо в синусі суми взяти обидва кути рівними α, вийде синус подвійного кута. Так само з косинусом. А з основної тотожності, синус у квадраті плюс косинус у квадраті дорівнює одиниці, косинус подвійного кута можна переписати ще двома способами.

Останні два рядки працюють у зворотний бік: квадрат синуса чи косинуса замінюють виразом без квадрата. Це називають зниженням степеня, і саме воно потрібне в інтегралах і в рівняннях, де стоїть квадрат синуса. У довіднику ні тангенса подвійного кута, ні цих двох формул немає.

Два завдання ЗНО на подвійний кут

Спершу завдання з основної сесії 2021 року.

Завдання 14 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Синус 2x дорівнює двом синусам x на косинус x. Підносимо до квадрата весь добуток, разом із двійкою: виходить чотири синуси в квадраті на косинуси в квадраті, відповідь В. Варіант Г отримує той, хто забув піднести до квадрата коефіцієнт 2. Варіанти А і Б з'являються, якщо подвійний кут «розкрити» як подвоєння самої функції, а Д це взагалі спроба перенести квадрат усередину аргументу.

Завдання 13 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут подвійний кут треба побачити, а не розкрити. Котангенс дорівнює косинусу, поділеному на синус, один синус скорочується, і залишаються два синуси на косинус, тобто синус 2α. Правильна відповідь Д. Тому, хто не впізнав формулу, найпривабливішим здається В, де нічого не скорочено.

Помилка, яку я бачу найчастіше

Синус суми не дорівнює сумі синусів. Звучить очевидно, але в тестах цю «лінійність» підсвідомо застосовують постійно: синус 2α замінюють на 2 синуси α, синус від α плюс 30° на синус α плюс одна друга. Перевірка така сама, як вище: синус 60° близько 0,87, а синус 30° плюс синус 30° дає 1. Не збігається, отже так не можна.

І ще одна моя порада. Формулу тангенса суми я б не зубрив окремо, її легко отримати, поділивши синус суми на косинус суми. А от чотири формули для синуса й косинуса варто знати так само міцно, як таблицю множення: від них залежить половина тригонометрії, зокрема тригонометричні рівняння.

8 завдань

У третьому і четвертому кут α гострий. У шостому й сьомому спершу впізнайте, яку формулу записано.

Відповіді

Загальна картина тригонометрії на тесті, що вчити першим і скільки це важить, є в статті про тригонометрію на НМТ. А повний перелік того, що дають на екрані під час тесту, в огляді довідкових матеріалів НМТ.

Що ще порозв'язувати

Безкоштовний тест «Тригонометричні вирази», колода флешкарток і PDF-набір завдань з тієї самої теми.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, перелік формул звірено з довідковими матеріалами демонстраційного варіанта НМТ-2026.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Формули додавання та наслідки з них входять до програми; що буде в довіднику НМТ-2027, на цю дату не оголошено.