Властивості функції за графіком: що видно одразу, а що доведеться перевірити

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

За графіком функції можна прочитати шість речей: область визначення, множину значень, нулі, проміжки зростання і спадання, найбільше й найменше значення, а також парність. Перші п'ять видно одразу, якщо знати, куди дивитися. Парність найпідступніша: її визначають за симетрією, і саме тут тести ставлять пастки.

Найкращий приклад дала основна сесія ЗНО-2021. У завданні було три графіки і серед варіантів «функція є парною» та «функція є непарною». Жоден графік не був ні парним, ні непарним. Один із них проходив через початок координат і виглядав симетричним, але не був.

Почнімо з тренування. Ось графік функції, визначеної на відрізку від −4 до 4. Спробуйте самі назвати всі шість властивостей, а потім звірте з картинкою нижче.

Ось як це читається, а пояснення до кожного рядка трохи далі.

Куди дивитися на графіку

Область визначення це «тінь» графіка на осі x: від найлівішої точки до найправішої. Множина значень це тінь на осі y, від найнижчої точки до найвищої. Тут вона від −3 до 2, хоча кінці графіка розташовані на висоті −2 і 1. Найнижча і найвища точки часто лежать усередині, а не на краях.

Нулі функції це точки, де графік перетинає вісь x. Проміжки, де функція додатна, це ті частини, де графік вище осі. Кількість розв'язків рівняння f(x) = 1 рахують як кількість точок перетину графіка з горизонтальною прямою y = 1. Тут їх три, і третю легко пропустити: вона на самому кінці графіка, у точці x = 4.

Із монотонністю одне правило: читаємо графік зліва направо. Якщо він іде вгору, функція зростає. Кінці проміжків зростання записують із квадратними дужками, якщо функція в цих точках визначена.

Завдання ЗНО-2016: п'ять графіків і чотири запитання

Це повноцінне завдання на відповідність, за яке на тесті давали кілька балів.

Завдання 21 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Парна функція має графік, симетричний відносно осі y. Такий лише на рисунку 2, тож 1 відповідає Б. Через точку (1; 0) проходить графік на рисунку 1, отже 2 це А. Зростає на всьому відрізку від −2 до 3 лише функція з рисунка 3, це В. Найцікавіше четверте запитання: логарифм з основою одна третя спадає і проходить через точку (1; 0). Два перетини з ним має ламана на рисунку 4: один при малих x, де логарифм дуже великий, і другий на крутому відрізку праворуч від x = 2. Відповідь Г. Повна відповідь 1Б, 2А, 3В, 4Г, і вона збігається з офіційним ключем.

Завдання ЗНО-2021, у якому немає ні парних, ні непарних

Тепер те саме завдання, про яке йшлося на початку.

Завдання 17 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Розберемо графіки по черзі. Перший не має спільних точок із колом, рівняння якого в умові, бо центр кола в точці (3; 4), радіус 2, а графік у цій частині площини проходить значно нижче. Це Г. Другий графік на відрізку від 1 до 3 зростає, тому найменше значення там у лівому кінці, f(1) = 2. Це Б. Третій тричі перетинає пряму y = 1, тож Д.

А тепер про пастку. Третій графік проходить через початок координат, і рука сама тягнеться до «непарна». Але непарність означає симетрію відносно початку координат для кожної точки. У точці x = −4 значення дорівнює 3, а в точці x = 4 нуль, а не −3. Симетрії немає. Проходження через нуль непарність не доводить.

Парність за формулою

Коли функцію задано формулою, діють у два кроки. Спершу перевіряють, чи симетрична область визначення відносно нуля. Якщо ні, функція не парна і не непарна, далі можна не рахувати. Якщо так, підставляють −x і порівнюють результат з f(x).

Перші два приклади класичні, третій показує, що сума парної і непарної функцій зазвичай не є ні тією, ні іншою. Четвертий падає вже на першому кроці: область визначення кореня складається лише з невід'ємних чисел. Докладніше про перевірку парності за формулою ми писали в статті про функції та графіки на НМТ.

Як це виглядає на НМТ-2026

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 властивості перевіряли вже за формулами, без графіків.

Завдання 16 демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Логарифм з основою 0,5 у точці 2 дорівнює −1, тому перша функція набуває від'ємного значення в точці x = 2, це Б. Синус непарний, бо синус від −x дорівнює мінус синусу x, це В. Третя функція має в знаменнику 2x − 2, і при x = 1 знаменник перетворюється на нуль, тож вона там не визначена, це А. Офіційна відповідь 1Б, 2В, 3А. Варіанти Г і Д не підходять жодній: логарифм з основою, меншою за одиницю, спадає, а дробова функція не має екстремумів.

Про періодичність коротко

Періодична функція повторює свої значення через рівні проміжки. У шкільному курсі це майже завжди тригонометричні функції, тому розбір періодичності перенесено в окрему статтю про графіки тригонометричних функцій, там же завдання ЗНО-2018 на періодичну функцію. Варто знати, що в програмі ЗНО дослідження функції на періодичність віднесено до профільного рівня.

Моя порада

Перш ніж відповідати на будь-яке запитання про графік, я раджу подивитися на його кінці. Чи замальовані точки, де він обривається, і на якій висоті вони стоять. Кінці визначають область визначення, часто дають найбільше або найменше значення і створюють «зайві» розв'язки рівнянь, які легко не помітити. Середина графіка зазвичай очевидна, а бали губляться саме на краях.

Коли графік прочитано, наступний крок це знайти ті самі властивості без малюнка, за допомогою похідної. Про це стаття про монотонність і екстремуми.

Де закріпити

Безкоштовний тест за темою «Функціональна залежність та елементарні функції», колода флешкарток з тієї самої теми і PDF-тренажер «Функції».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Розібрані завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО і демонстраційного варіанта НМТ на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття вийшла 5 жовтня 2026 року. Властивості функцій є частиною чинної програми з математики, а формат НМТ-2027 на цю дату ще не затверджено.