Монотонність і екстремуми: нуль похідної ще не означає екстремум

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Функція зростає там, де її похідна додатна, і спадає там, де похідна від'ємна. Точка, в якій похідна змінює знак з плюса на мінус, це точка максимуму, а з мінуса на плюс точка мінімуму. Тому дослідження функції зводиться до знаків похідної на числовій прямій. Знаходимо похідну та її нулі, розставляємо знаки на проміжках і читаємо відповідь.

Пастка в тому, що нуль похідної ще не означає екстремум. У функції y = x³ похідна в нулі дорівнює нулю, але функція зростає на всій числовій прямій, і екстремумів у неї немає. Вирішує не сам нуль, а зміна знака.

Знакова схема замість графіка

Візьмемо функцію f(x) = x³ − 3x. Її похідна 3x² − 3 розкладається на множники 3(x − 1)(x + 1) і дорівнює нулю в точках −1 і 1. Ці точки ділять пряму на три проміжки, і на кожному похідна зберігає знак. Щоб його дізнатися, досить підставити будь-яке число з проміжку. Наприклад, f′(2) = 9, тож праворуч від одиниці похідна додатна.

Читаємо схему зліва направо. До точки −1 похідна додатна, і функція зростає. Між −1 і 1 похідна від'ємна, функція спадає, а після 1 знову зростає. Отже, x = −1 точка максимуму, x = 1 точка мінімуму. Самі значення f(−1) = 2 і f(1) = −2 називають екстремумами, тобто максимумом і мінімумом функції.

Кінці проміжків монотонності у відповідь включають, якщо функція в них визначена. Саме так, з квадратними дужками, записано відповідь і в офіційних матеріалах УЦОЯО до завдання, яке ми зараз розберемо.

Завдання ЗНО-2021, де бал давали за кожен крок

Завдання 30 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Це та сама функція, і план розв'язання повторює нашу схему. У таблицю записуємо f(0) = 0, f(−1) = 2 і f(2) = 2. Графік перетинає вісь x там, де x(x² − 3) = 0, тобто в точках 0, −√3 і √3. Похідна дорівнює 3x² − 3, її нулі ±1, а знакова схема дає проміжки монотонності й екстремуми.

Найцікавіше в цьому завданні схема оцінювання. За кожну з шести частин УЦОЯО нараховувало окремий бал: за таблицю значень, точки перетину з віссю, похідну, її нулі, проміжки з екстремумами і за ескіз графіка. Учасник, який правильно знайшов похідну та її нулі, але заплутався в знаках, усе одно отримував частину балів.

Ескіз графіка з правильних відповідей до завдання 30 ЗНО-2021. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Ескіз тут лише підсумок. Обидві точки екстремуму і три нулі вже відомі з попередніх кроків, лишається з'єднати їх плавною лінією, яка ліворуч іде вниз, а праворуч угору.

Коли нуль похідної нічого не означає

Точки, де похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними. Екстремум буває лише в критичній точці, але не в кожній критичній точці він є. Два приклади показують обидва боки.

У функції y = x³ похідна 3x² у нулі дорівнює нулю, проте ліворуч і праворуч від нуля вона додатна. Знак не змінюється, отже, екстремуму немає. Дотична в цій точці горизонтальна і до того ж перетинає графік. У функції y = |x| усе навпаки. Похідної в нулі не існує, бо графік має злам, а мінімум є. Тому на знакову схему ставлять і нулі похідної, і точки, де її немає.

Екстремуми за готовим графіком

Інколи похідну рахувати не треба, бо графік уже намальовано. Так було в ЗНО-2017.

Завдання 21 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Точки екстремуму на графіку це вершини «горбів» і дна «западин». На рисунку 2 таких точок дві, мінімум біля x = −2 і максимум біля x = 2, тому 2Д. На рисунку 3 точок екстремуму три, зате нулів теж три, звідси 3Г. Графік на рисунку 1 симетричний відносно початку координат, функція непарна, 1А. Графік на рисунку 4 симетричний відносно осі y, функція парна, 4В.

Варіант Б тут зайвий, і він добре перевіряє уважність. На рисунку 4 функція набуває найбільшого значення на кінцях відрізка, але це значення 3, а не 4. Важливіше інше: кінці відрізка не бувають точками екстремуму, бо екстремум розглядають лише у внутрішніх точках. Тому на рисунку 4 точка екстремуму одна, x = 0, хоча найбільше значення функція має аж у двох точках. Різницю між екстремумом і найбільшим значенням ми розбираємо в статті про найбільше і найменше значення функції.

Чому я раджу завжди малювати схему

Навіть коли похідна проста, я прошу учнів малювати знакову схему, а не тримати знаки в голові. На ній одразу видно, де максимум, а де мінімум, і не буває плутанини, яку точку записати першою. А у функціях із дробом схема просто рятує. У п'ятій вправі нижче функція містить дріб зі знаменником x, тож її похідна не існує в нулі, і без схеми цю точку дуже легко пропустити.

Варто пам'ятати й про формат. У НМТ-2026 з математики завдань з розгорнутою відповіддю не було, зараховували лише остаточну відповідь. Часткових балів, як у ЗНО-2021, там немає, і помилка в одному знаку коштує цілого завдання.

6 функцій для самостійного дослідження

Для кожної знайдіть проміжки зростання і спадання, точки екстремуму та екстремуми. У п'ятій пам'ятайте, що x не може дорівнювати нулю.

Відповіді

У п'ятій відповіді є неочікувана деталь. Максимум функції дорівнює −4, а мінімум 4, тобто максимум менший за мінімум. Суперечності тут немає, бо максимум означає найбільше значення лише поблизу точки, а не на всій області визначення.

Якщо похідні не виходять, поверніться до статті про правила диференціювання. Як похідна пов'язана з дотичною і швидкістю, пояснює стаття про рівняння дотичної, а властивості функції за готовим графіком розібрано в статті про властивості функції. Огляд усієї теми є в матеріалі про похідну та інтеграл на НМТ.

Що ще порозв'язувати

Безкоштовний тест «Застосування похідної», колода флешкарток з цієї теми і PDF-збірник «Застосування похідної».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання, правильні відповіді та схему оцінювання взято з матеріалів ЗНО на testportal.gov.ua, а відповіді до вправ перевірено символьним обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді до сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, схеми оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю ЗНО-2021 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал вийшов 5 жовтня 2026 року. Дослідження функції за допомогою похідної входить до чинної програми з математики; чи зміниться перелік тем у НМТ-2027, на цю дату не визначено.