Похідна добутку не дорівнює добутку похідних: правила диференціювання на завданнях ЗНО

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Похідну знаходять за двома інструментами: таблицею похідних основних функцій і чотирма правилами для суми, сталого множника, добутку й частки. П'яте правило, для складеної функції, потрібне, коли під функцією стоїть не просто x, а вираз, як у синусі 3x чи в (2x + 1) у п'ятому степені. Найчастіша помилка в цій темі не в таблиці, а в правилах: похідну добутку рахують як добуток похідних.

Корисний факт перед тестом: у довідкових матеріалах НМТ є таблиця похідних і правила для суми, різниці, добутку, частки та сталого множника, а правила для складеної функції там немає. Немає і похідних показникової функції з довільною основою та логарифма з довільною основою, лише e в степені x і натуральний логарифм.

Фрагмент довідкових матеріалів НМТ-2026, розділ «Похідна функції». Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Таблиця компактна, і її варто знати так, щоб на тесті не відкривати. Час краще витратити на правила, бо саме вони відрізняють правильну відповідь від схожих.

П'ять правил в одній картинці

Останній рядок це правило складеної функції: спершу беремо похідну «зовнішньої» функції, не чіпаючи аргумент, а потім множимо на похідну «внутрішньої». У програмі ЗНО з математики саме це правило віднесено до профільного рівня, але на практиці без нього не обійтися навіть у простих задачах на дотичну.

Три завдання ЗНО, у яких неправильні варіанти підказують помилку

Укладачі тестів добре знають типові збої, тому неправильні відповіді в завданнях на похідну рідко бувають випадковими. Почнімо з ЗНО-2018.

Завдання 19 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Найпростіше тут нічого не множити за правилом добутку, а спершу розкрити дужки: x на (x у кубі плюс 1) дорівнює x у четвертому степені плюс x. Похідна дорівнює 4x у кубі плюс 1, відповідь А. Хто продиференціює лише дужку, отримає Г. А варіант Д це взагалі не похідна, а первісна виразу після розкриття дужок. Плутанина похідної з первісною на тесті трапляється частіше, ніж здається.

Завдання 18 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Множимо кожен коефіцієнт на показник і зменшуємо показник на одиницю: мінус сім шостих на 6 дає −7, а 5 на 4 дає 20. Похідна сталої −14 дорівнює нулю. Відповідь В. Варіант Б з'являється, коли забувають, що похідна числа нуль, А знову нагадує первісну, а Г і Д виходять, якщо помилитися з показником.

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Похідна синуса дорівнює косинусу, а похідна косинуса дорівнює мінус синусу. Перед косинусом у функції стоїть мінус, тому мінус на мінус дає плюс: косинус x плюс синус x, відповідь Д. Варіант Б виходить, якщо забути мінус у похідній косинуса. Варіант В це первісна, а не похідна, а Г та сама первісна без доданка x. Варіант А зберігає одиницю, хоча похідна сталої дорівнює нулю.

Складена функція на чотирьох прикладах

Ось правило в дії. У кожному рядку множник, що з'являється перед результатом, це похідна внутрішнього виразу.

Найчастіше забувають саме цей множник. Синус 3x має похідну 3 косинус 3x, а не косинус 3x. Перевірити себе легко: якщо внутрішній вираз не просто x, у відповіді обов'язково має з'явитися його похідна.

Моя порада: спершу спростіть

Перш ніж застосовувати правило добутку чи частки, я раджу подивитися, чи не можна від них позбутися. Добуток многочленів часто простіше розкрити, дріб скоротити, а корінь записати як степінь. У завданні 2018 року це перетворює хвилину роботи на десять секунд і прибирає ризик помилки в довгій формулі. Правило частки варто залишити для дробів, які справді не скорочуються.

Якщо ж похідні ще тримаються в голові нетвердо, корисно повторити їх разом із первісними, бо це та сама таблиця, прочитана в різні боки. Про це стаття про первісну й інтеграл через похідну.

8 функцій для тренування

У другому і сьомому потрібне правило добутку, у третьому частки, у четвертому, п'ятому, шостому й восьмому складеної функції.

Відповіді

Що робити з похідною далі, як вона описує нахил графіка і швидкість руху, розповідає стаття про дотичну до графіка. Загальний план підготовки з похідної та інтеграла є в огляді похідної та інтеграла на НМТ, а повний вміст довідника розібрано в статті про довідкові матеріали НМТ.

Порозв'язувати ще

Безкоштовний тест «Похідна та її зміст», однойменна колода флешкарток і PDF-збірник «Згадати все: похідна функції».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО на testportal.gov.ua, відповіді звірено з ключами УЦОЯО, а похідні у вправах перевірено символьним обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Правила диференціювання входять до чинної програми, правило для складеної функції віднесено до профільного рівня; модель НМТ-2027 на цю дату не затверджена.