Рівняння дотичної і зміст похідної: чому в задачі ЗНО-2019 точок дотику дві

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою x₀ має вигляд y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Щоб його записати, потрібні лише три числа: абсциса точки дотику, значення функції в ній і значення похідної. Похідна в точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто тангенсу кута, який дотична утворює з додатним напрямом осі x. Це і є геометричний зміст похідної.

Фізичний зміст такий самий, тільки іншими словами: якщо функція описує координату тіла залежно від часу, похідна дорівнює швидкості. А в задачі ЗНО-2019 на дотичну була деталь, яку легко пропустити: дотичних, паралельних заданій прямій, виявилося дві.

Що означає «похідна дорівнює нахилу»

На малюнку графік функції y = x² − 3x і дотична до нього в точці x₀ = 1. Дотична торкається графіка лише в одній точці поблизу x₀ і має той самий нахил, що й графік у цьому місці. Якщо похідна додатна, дотична піднімається зліва направо, якщо від'ємна, опускається, а якщо дорівнює нулю, дотична горизонтальна. Тут похідна в точці 1 дорівнює −1, тому дотична йде вниз під кутом 135° до осі x.

Запишемо рівняння цієї дотичної крок за кроком.

Порядок завжди однаковий: значення функції, похідна, значення похідної, підстановка у формулу. Найчастіше помиляються на останньому кроці, коли забувають розкрити дужки або плутають знак у виразі x мінус x₀ при від'ємному x₀.

Дотична, паралельна прямій: завдання ЗНО-2019

Завдання 31 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти. Пряма y = 5 − 8x має кутовий коефіцієнт −8. Отже, шукаємо точки, де похідна функції 2 поділене на x дорівнює −8. Похідна дорівнює −2 поділене на x², звідки x² дорівнює одній четвертій, і x = ±0,5. Офіційна відповідь УЦОЯО саме така: x = −0,5 і x = 0,5.

Ось у чому неочевидність. Рівняння для x квадратне, тож розв'язків два, і обидва годяться: гіпербола має дві гілки, і на кожній є точка з потрібним нахилом. Хто зупинився на x = 0,5, втратив половину відповіді.

На малюнку видно обидві дотичні. Вони паралельні між собою і прямій y = 5 − 8x, а торкаються гіперболи в точках (0,5; 4) і (−0,5; −4).

Кут нахилу

Інколи питають не рівняння, а кут, який дотична утворює з віссю x. Тоді досить похідної: її значення дорівнює тангенсу кута. Похідна 1 означає кут 45°, похідна корінь з трьох означає 60°, похідна −1 означає 135°. Коли похідна дорівнює нулю, дотична паралельна осі x, і саме в таких точках часто бувають екстремуми, про це стаття про монотонність і екстремуми.

Похідна як швидкість

Якщо s(t) це координата тіла в момент t, то похідна s′(t) дорівнює швидкості, а похідна швидкості дорівнює прискоренню. Звідси прості відповіді на типові запитання: тіло зупиняється в ті моменти, коли швидкість дорівнює нулю, а щоб знайти прискорення, швидкість диференціюють ще раз.

У цьому прикладі тіло рухається вперед, зупиняється в момент t = 1, повертається назад і знову зупиняється в момент t = 3, після чого рухається вперед. Швидкість у момент t = 2 дорівнює −3, тобто тіло тоді рухається назад зі швидкістю 3 м за секунду. Прискорення в цей момент нульове. На графіку координати видно, що в моменти зупинки дотична до графіка горизонтальна.

Моя думка про цю тему

Задачі на кут нахилу і на швидкість я вважаю найдешевшими балами з похідної. Вони розв'язуються в один-два рядки, якщо таблиця похідних не викликає сумнівів. Рівняння дотичної складніше лише тим, що в ньому більше обчислень, але алгоритм той самий. Варто знати, що в програмі ЗНО з математики геометричний і фізичний зміст похідної належать до рівня стандарту, а рівняння дотичної до профільного рівня.

6 завдань

У першому і другому складіть рівняння дотичної в точці x₀. У третьому знайдіть кут, який дотична утворює з віссю x, а в четвертому точку графіка, де дотична горизонтальна. У п'ятому координата задана в метрах, час у секундах, потрібна швидкість у момент t = 2. У шостому складіть рівняння дотичної до параболи, паралельної прямій y = 3x + 1: паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти.

Відповіді

Якщо помилилися в похідній, поверніться до статті про правила диференціювання. Загальна картина теми, разом з інтегралом, є в огляді похідної та інтеграла на НМТ. Про кутовий коефіцієнт прямої й рівняння прямої на площині ми писали в статті про вектори й координати на НМТ.

Тренування

Безкоштовний тест «Похідна та її зміст» і однойменна колода флешкарток.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання і відповідь до нього взято з матеріалів ЗНО-2019 на testportal.gov.ua, а рівняння дотичних у статті перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2019 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації: 5 жовтня 2026 року. Геометричний і фізичний зміст похідної є в чинній програмі на рівні стандарту; що з цього увійде до НМТ-2027, поки не визначено.