Найбільше і найменше значення функції: чому відповідь часто на кінці відрізка

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції на відрізку, досить порівняти кілька чисел: значення функції в критичних точках усередині відрізка і на обох його кінцях. Найбільше з цих чисел і буде найбільшим значенням функції, найменше найменшим. Знакова схема для цього не потрібна, і з'ясовувати, максимум чи мінімум у критичній точці, теж не треба.

Неочевидне в цій темі те, як часто відповідь лежить на кінці відрізка, а не в точці екстремуму. У функції x³ − 3x на відрізку [0; 2] мінімум усередині, а найбільше значення дає правий кінець. Хто шукає лише екстремуми, цієї відповіді не знайде.

Чотири кроки

1. Знайдіть похідну функції.
2. Знайдіть критичні точки і залиште лише ті, що лежать усередині відрізка.
3. Обчисліть значення функції в цих точках і на кінцях відрізка.
4. Виберіть серед отриманих чисел найбільше і найменше.

Ось як це виглядає на функції x³ − 3x.

Точку −1 ми відкинули, бо вона поза відрізком, хоча саме там у функції максимум. На відрізку [0; 2] найбільше значення 2 функція набуває на правому кінці, а найменше −2 у точці мінімуму x = 1. Зверніть увагу, що значення 2 функція має і в точці −1, але для цього відрізка вона нічого не важить.

Графік із ЗНО-2020

У тестах найбільше і найменше значення часто треба прочитати з графіка. Ось завдання з додаткової сесії ЗНО-2020.

Завдання 5 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Правильна відповідь Д. Функція зростає від −3 до 1, де графік досягає вершини, а далі спадає. Варіант Б це якраз проміжок спадання, проміжок у В виходить за межі області визначення, а А і Г захоплюють ділянку, де функція вже спадає.

Цей самий графік добре показує нашу тему. На відрізку [−3; 3] найбільше значення функція набуває у внутрішній точці x = 1, де в неї максимум. А найменше значення припадає на лівий кінець, точку −3. Точки мінімуму в цієї функції немає взагалі, проте найменше значення є.

Задача про коробку

Найбільші й найменші значення шукають і в задачах про реальні величини. Класичний приклад виглядає так. З квадратного аркуша зі стороною 12 см вирізають по кутах однакові квадратики і загинають краї, щоб вийшла коробка без кришки. Якою має бути сторона квадратика, щоб об'єм коробки був найбільшим?

Якщо сторона квадратика x, то дно коробки має сторону 12 − 2x, а висота дорівнює x. Тому об'єм дорівнює x(12 − 2x)², де x більше за 0 і менше за 6. Похідна перетворюється на нуль при x = 2 і x = 6, але 6 не підходить, бо тоді коробки просто немає. Отже, вирізати треба квадратики зі стороною 2 см, і найбільший об'єм дорівнює 128 см³.

Цікаво, що відповідь має просту загальну форму. Для аркуша зі стороною a вийде x = a поділене на 6, тобто вирізати завжди треба шосту частину сторони. Такий результат легко перевірити тим самим обчисленням з буквою замість числа.

Що про це каже програма

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, тема «Дослідження функції за допомогою похідної». Ліворуч уміння для рівня стандарту і профільного рівня, праворуч лише для профільного. Джерело: testportal.gov.ua.

Усе, про що йдеться в цій статті, стоїть у лівій колонці, тобто потрібне на обох рівнях. Права колонка для цієї теми порожня. Окремо згадано прикладні задачі на найбільші й найменші значення, тож задача на зразок нашої коробки цілком законна для тесту.

Де губляться бали

Я вважаю цю тему однією з найвдячніших у похідній, бо алгоритм механічний і майже не залежить від вигляду функції. На заняттях ми найчастіше бачимо одну й ту саму помилку. Учень знаходить критичну точку, обчислює в ній значення і на цьому зупиняється, забувши про кінці відрізка. Тому я раджу виписувати всіх кандидатів в один рядок і вибирати відповідь лише тоді, коли обчислено кожне значення.

Ще одна корисна перевірка. Якщо критичних точок усередині відрізка немає, функція на ньому монотонна, і відповідь дають самі кінці. Тоді похідну можна навіть не прирівнювати до нуля, досить переконатися, що вона не змінює знак.

6 завдань

У перших п'яти знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку. У шостому добуток двох додатних чисел дорівнює 16, знайдіть найменше можливе значення їхньої суми.

Відповіді

У другому і третьому завданнях функція набуває найменшого або найбільшого значення одразу у двох точках, і в цьому немає нічого дивного. У п'ятому значення на обох кінцях однакові, а найбільше значення дає точка посередині. У шостому найбільшого значення немає зовсім, бо суму можна зробити як завгодно великою.

Як шукати проміжки зростання і точки екстремуму, детально розібрано в статті про монотонність і екстремуми. Похідні, потрібні для вправ, є в статті про правила диференціювання, а геометричний зміст похідної в статті про рівняння дотичної. Як ця тема виглядає на тлі всієї похідної та інтеграла, читайте в огляді для НМТ.

Для тренування

Тест «Застосування похідної» безкоштовний, до нього є колода флешкарток, а більше задач зібрано в однойменному PDF-збірнику.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання і фрагмент програми взято з офіційних документів на testportal.gov.ua, а відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, характеристика НМТ-2026 з математики (PDF): testportal.gov.ua

Стаття вийшла 5 жовтня 2026 року. Пошук найбільшого і найменшого значень функції у програмі віднесено до обох рівнів; чи зміниться перелік тем для НМТ-2027, поки не визначено.