Таблиця значень тригонометричних функцій, яку можна відновити з одного рядка коренів

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Синуси кутів 0°, 30°, 45°, 60° і 90° дорівнюють кореням √0, √1, √2, √3 і √4, поділеним на 2. Після спрощення це 0; 0,5; приблизно 0,707; приблизно 0,866 і 1. Косинуси тих самих кутів утворюють той самий рядок, прочитаний справа наліво, тому cos 0° = 1, а cos 90° = 0. Тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус, а котангенс навпаки.

У таблиці з довідки НМТ-2026 рядка котангенса немає, а тангенс 30° записано як одиницю, поділену на √3. У таблиці із зошита ЗНО-2018 і в багатьох варіантах відповідей стоїть інший запис, √3, поділений на 3. Це одне й те саме число, приблизно 0,577.

Під коренями в рядку синусів стоять числа від 0 до 4 по порядку, а в рядку косинусів ті самі числа йдуть навпаки. Тангенс збирається з тих самих коренів. Корінь із рядка синусів ділимо на корінь із рядка косинусів, і двійки скорочуються. Для 60° це √3, поділений на √1, тож tg 60° = √3.

Звідки в рядку взялися корені

Рядок випливає з двох знайомих фігур. Висота ділить рівносторонній трикутник зі стороною 2 на два прямокутні трикутники з кутами 30° і 60°. Катет проти кута 30° дорівнює половині сторони, тобто 1, а другий катет за теоремою Піфагора дорівнює √3, бо 2² − 1² = 3. Діагональ квадрата зі стороною 1 ділить його на два трикутники з кутами 45° і сама дорівнює √2.

Синус гострого кута дорівнює протилежному катету, поділеному на гіпотенузу. Звідси sin 30° = 0,5, а sin 60° дорівнює √3, поділеному на 2. Для 45° виходить одиниця, поділена на √2, а після множення чисельника й знаменника на √2 маємо запис із рядка. Тож рядок коренів завжди можна відновити, намалювавши ці дві фігури на чернетці.

Таблиця для кутів від 0° до 360°

Повна таблиця має сімнадцять стовпців, тому її розбито на дві частини, від 0° до 180° і від 210° до 360°. Під кожним кутом у градусах записано той самий кут у радіанах. Як переходити від однієї міри до іншої, пояснює стаття про радіанну міру кута.

З першої частини найчастіше потрібні sin 30° = 0,5, cos 60° = 0,5, sin 45° = cos 45° ≈ 0,707, sin 60° = cos 30° ≈ 0,866, tg 45° = 1, tg 60° = √3 ≈ 1,732 і tg 30° ≈ 0,577. У другій чверті cos 120° = −0,5 і sin 150° = 0,5, а на її межі cos 180° = −1. Товста сіра лінія відділяє першу чверть від другої.

У третій і четвертій чвертях повторюються ті самі числа, змінюються тільки знаки. Наприклад, sin 210° = −0,5, cos 240° = −0,5, tg 225° = 1, а cos 330° ≈ 0,866. Слова «не існує» стоять там, де довелося б ділити на нуль. Тангенс не існує при 90° і 270°, бо там косинус дорівнює нулю, а котангенс при 0°, 180° і 360°, де нулю дорівнює синус.

Чверть підказує знак

Кут 150° менший за 180° на 30°, кут 225° більший за 180° на 45°, а кут 300° менший за 360° на 60°. Тому кожне число в таблиці береться з рядка коренів, а знак залежить від чверті, у якій лежить кут. На одиничному колі точки для 30°, 150°, 210° і 330° утворюють прямокутник, і синус у всіх чотирьох за модулем дорівнює 0,5.

У першій чверті всі функції додатні. У другій додатний лише синус, у третій тангенс і котангенс, у четвертій косинус. Тому sin 150° = sin 30° = 0,5, а cos 150° ≈ −0,866, бо косинус у другій чверті від'ємний. Як записати це правило для будь-якого кута, пояснюють формули зведення, а як ті самі знаки видно на синусоїді, показано в статті про графіки тригонометричних функцій.

Дві офіційні таблиці й два записи одного числа

Таблиця значень є в довідкових матеріалах НМТ, але скорочена. Що ще містить довідка, ми розбирали в статті про довідкові матеріали НМТ.

Розділ «Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Тут вісім кутів у градусах і радіанах та три рядки, для синуса, косинуса й тангенса. Котангенса немає, його доведеться знаходити як косинус, поділений на синус. Тангенс 30° записано як одиницю, поділену на √3.

Таблиця значень тригонометричних функцій з кінця зошита ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

У зошиті ЗНО-2018 кутів лише п'ять, від 0° до 90°, зате є рядок котангенса. А тангенс 30° і котангенс 60° там записано як √3, поділений на 3. Обидва записи правильні, і перехід від одного до іншого займає один рядок.

Множення чисельника й знаменника на √3 прибирає корінь зі знаменника. Якщо у вашій відповіді корінь стоїть у знаменнику, а серед варіантів такого запису немає, спершу зробіть це перетворення.

Ще одна часта плутанина стосується tg 30° і tg 60°, бо обидва записують через √3. Допомагає проста оцінка. Кут 30° менший за 45°, тому його тангенс менший за tg 45° = 1. Число √3 ≈ 1,732 більше за одиницю і може бути лише тангенсом 60°.

Що я раджу запам'ятати замість сімнадцяти стовпців

Я раджу не зубрити таблицю, а пам'ятати рядок коренів і знаки по чвертях. У таблиці 68 клітинок, але синус і косинус набувають у них лише п'яти значень за модулем. Це 0; 0,5; √2, поділений на 2; √3, поділений на 2; і 1. Тангенс і котангенс за модулем набувають чотирьох значень, 0; √3, поділений на 3; 1 і √3, якщо не рахувати клітинок «не існує».

Решту таблиці визначають знаки. Для кутів на кшталт 40° чи 70° такого запису з коренями немає, їх беруть із таблиці Брадіса або рахують на калькуляторі.

Вісім кутів без довідки

Знайдіть значення, не заглядаючи в таблицю. Спершу визначте чверть і знак, потім відповідний кут у першій чверті.

У п'ятому й шостому кути задано в радіанах, а в сьомому й восьмому треба перемножити два значення.

Відповіді

Якщо в другому вийшло −0,5, ви взяли синус 30° замість косинуса, а відповідь −√3 у шостому означає, що косинус поділили на синус і знайшли котангенс. Додатне число в сьомому з'являється, коли забувають, що cos 150° від'ємний.

Як закріпити значення кутів

Значення кутів зручно повторювати за флешкартками з тригонометрії. Перевірити себе на завданнях у форматі НМТ можна в безкоштовному тесті «Тригонометричні вирази», а більше вправ зібрано в PDF-збірнику. З чого почати підготовку до всієї теми, розказано в статті про тригонометрію на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Офіційні таблиці взято з демонстраційного варіанта НМТ-2026 і зошита ЗНО-2018, а кожну клітинку наших таблиць і відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Таблицю значень наведено за довідковими матеріалами НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.