Площа паралелограма й ромба. Серед паралелограмів половина добутку діагоналей дає площу лише ромба

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони, S = a·hₐ. Якщо відомі дві сусідні сторони й кут між ними, то S = ab sin γ. Ромб це паралелограм з рівними сторонами, тому його площа S = a·h = a² sin α. Для ромба є ще третя формула, площа дорівнює половині добутку діагоналей.

Третю формулу часом застосовують до будь-якого паралелограма, і це помилка. Прямокутник 3 на 4 має дві діагоналі по 5, і половина їхнього добутку дорівнює 12,5. Площа ж прямокутника 12.

Друга формула паралелограма виходить з першої. Висота hₐ разом зі стороною b утворює прямокутний трикутник, у якому hₐ = b sin γ. Підставте це в S = a·hₐ, і вийде ab sin γ. У ромба b = a, тому добуток сторін стає a², а висоту позначають просто h.

Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники. Тому ab sin γ є подвоєною площею трикутника зі сторонами a і b та кутом γ між ними, а всі формули площі трикутника зібрано в статті про трикутник.

Три формули з довідки НМТ-2026

Розділ «Чотирикутники» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Для паралелограма довідка дає ab sin γ і a·hₐ, для ромба тільки половину добутку діагоналей. Формули a² sin α там немає, але вона випливає з ab sin γ, якщо взяти b = a. Між паралелограмом і ромбом намальовано прямокутник з S = ab, і це та сама формула ab sin γ при γ = 90°, бо sin 90° = 1.

Гострий кут чи тупий, площа та сама

Сусідні кути паралелограма разом дають 180°. Який із них брати, байдуже, бо sin(180° − γ) = sin γ. Наприклад, sin 120° = sin 60° ≈ 0,866, а sin 150° = sin 30° = 0,5. Звідки беруться такі рівності, пояснено в статті про формули зведення, а точні значення синусів є в таблиці тригонометричних функцій.

Дві різні помилки з відповіддю 16

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Діагоналі перетинаються під прямим кутом тільки в ромба, а рівні сусідні сторони, 4 і 4, є лише на рисунку 1. На рисунку 2 висота 4 лежить навпроти кута в прямокутному трикутнику з гіпотенузою 8. Синус цього кута дорівнює відношенню 4 до 8, тобто 0,5, і кут дорівнює 30°. Для третього пункту доведеться порахувати площі всіх п'яти фігур.

Площу 16 має тільки паралелограм на рисунку 5 з основою 8 і висотою 2, а бічна сторона 3 там лише відволікає. Площі решти дорівнюють 8√3 ≈ 13,9, 48, 16√3 ≈ 27,7 і 24√3 ≈ 41,6. Правильна відповідь 1А, 2Б, 3Д.

Число 16 можна отримати ще двома хибними шляхами. Якщо на рисунку 1 перемножити сторони без синуса, вийде 4 · 4 = 16. Якщо на рисунку 3 взяти sin 120° рівним 0,5, вийде 4 · 8 · 0,5 = 16, хоча 0,5 це синус 30°. Синус тупого кута паралелограма дорівнює синусу гострого, тому на рисунку 3 площа 16√3.

Діагоналі прямокутника 3 на 4

Діагоналі ділять будь-який паралелограм на чотири трикутники. Точка перетину ділить кожну діагональ навпіл, а кути між діагоналями дорівнюють φ і 180° − φ, тож синус у них спільний. Через це всі чотири трикутники мають однакову площу, а площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей, помноженій на sin φ.

У прямокутнику 3 на 4 діагоналі по 5 перетинаються під кутом, синус якого 0,96. Половина добутку діагоналей, 12,5, після множення на 0,96 дає 12. Кожен із чотирьох трикутників має площу 3, хоча два з них спираються на сторону 4, а два на сторону 3.

Синус дорівнює 1 тільки для прямого кута. Тому формула без синуса правильна тоді й лише тоді, коли діагоналі перпендикулярні, а серед паралелограмів такі діагоналі мають тільки ромби, зокрема квадрат. Для решти паралелограмів половина добутку діагоналей завжди більша за площу.

Ромб, квадрат і теорема Піфагора

Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять його кути навпіл. Вони розрізають ромб на чотири рівні прямокутні трикутники, у яких катети дорівнюють половинам діагоналей, а гіпотенуза дорівнює стороні. З теореми Піфагора виходить d₁² + d₂² = 4a². Ромб з діагоналями 6 і 8 має сторону 5, площу 24 і висоту 4,8.

Завдання 23 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Периметр ромба 48 см, тому його сторона 12 см. Таку саму довжину має сторона CD квадрата, і в першому пункті відповідь В. Трикутник CDM має дві сторони по 12 і кут 60° між ними, тож він рівносторонній, і менша діагональ CM = 12. Більшу діагональ дає рівність 12² + d² = 4 · 144, звідки d = 12√3, і це Г.

Відстань від M до сторони CD є висотою ромба, 12 sin 60° = 6√3, тобто Б. Точка K вища за пряму BC на 12 cos 60° = 6 см, а пряма BC віддалена від AD на сторону квадрата. Тому відстань від K до AD дорівнює 12 + 6 = 18, відповідь Д.

У четвертому пункті дві пастки. Хто знайде 6 і забуде додати сторону квадрата, вибере А. Відрізок KD теж з'єднує K з прямою AD, але він похилий, і його довжина 12√3 є діагоналлю ромба, а не відстанню.

Площу ромба CKMD у задачі не питали, проте на ній зручно звірити всі три формули. Добуток 12 · 6√3, вираз 144 · sin 60° і половина від 12 · 12√3 дають ту саму площу 72√3 ≈ 124,7 см².

Яку формулу я тримаю в голові

Я раджу пам'ятати одну формулу, ab sin γ, і бачити в ній решту. При γ = 90° вона дає площу прямокутника, при b = a площу ромба, а рівність hₐ = b sin γ повертає до a·hₐ. Половину добутку діагоналей я б брав тільки тоді, коли напевно відомо, що фігура є ромбом або квадратом. Площі квадрата й прямокутника та трапеції розібрано в окремих статтях.

Задачі для самостійної роботи

Значок біля номера показує фігуру, паралелограм, ромб або прямокутник. У п'ятій задачі шукайте гострий кут, а в шостій синус кута між діагоналями.

Одна відповідь буде з коренем, ще одна десятковим дробом.

Відповіді

Від'ємна площа в другій задачі означає, що замість sin 135° взято cos 135°. Якщо в третій вийшло 240, ви не поділили добуток діагоналей на 2.

Тест, картки й PDF з чотирикутників

Перевірити себе на завданнях у форматі НМТ можна в безкоштовному тесті «Чотирикутники». Формули площ зручно повторювати за флешкартками, а більше задач на чотирикутники зібрано в PDF-збірнику. Формули площ і об'ємів усіх фігур шкільного курсу зведено на одній сторінці.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Обидва завдання взято з додаткових сесій ЗНО-2018 і ЗНО-2021, розв'язки звірено з ключами УЦОЯО, а площі в таблиці й відповіді до вправ перевірено окремим розрахунком.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Формули площ наведено за довідковими матеріалами НМТ-2026, а склад довідки НМТ-2027 на цю дату ще не визначено.