Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту. Окремо про рівнобічну й прямокутну трапецію

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Площа трапеції дорівнює півсумі основ, помноженій на висоту. Півсума основ дорівнює довжині середньої лінії, тому формулу записують і коротше, S = m · h. Трапеція з основами 10 см і 6 см та висотою 5 см має середню лінію 8 см і площу 40 см².

Бічних сторін і кутів у формулі немає. Тому меншу основу можна зсувати вздовж її прямої як завгодно, і площа не зміниться, навіть коли рівнобічна трапеція стане прямокутною чи сильно скошеною.

Основи a і b паралельні, а висота h дорівнює відстані між ними. Середня лінія m з'єднує середини бічних сторін і теж паралельна основам. Вона завжди коротша за більшу основу, але довша за меншу. Для основ 10 і 6 це 8, а якщо вийшло 16, суму основ забули поділити навпіл. Помилку видно одразу, бо 16 більше навіть за більшу основу.

Дві однакові трапеції складають паралелограм

Звідки береться півсума, видно з рисунка. Візьміть дві однакові трапеції, переверніть одну й прикладіть до другої бічною стороною.

Вийшов паралелограм з основою a + b і тією самою висотою h. Його площа дорівнює (a + b) · h, а трапеція займає рівно половину. Чому площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту, пояснює стаття про паралелограм і ромб.

Нижній рисунок дає другий спосіб. Діагональ AC розрізає трапецію на два трикутники з основами a і b. Висота в обох та сама, h, тож площа дорівнює сумі половини ah і половини bh. Після винесення спільного множника виходить та сама формула.

Звідси видно й те, чому меншу основу можна зсувати. Трикутник не змінює площі, коли його вершина рухається по прямій, паралельній основі. Нижче три трапеції з основами 10 і 6 та висотою 5, і площа кожної дорівнює 40.

У третьої трапеції тупий кут лежить при більшій основі, і висота з кінця меншої основи падає за межі фігури, на продовження більшої основи. Формула від цього не змінюється.

Формула в довідці є, середньої лінії немає

Розділ «Чотирикутники» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці НМТ-2026 площу трапеції записано через півсуму основ. Слів «середня лінія» там немає, тож її властивості треба пам'ятати самому. Якщо умова дає середню лінію 7,5 і висоту 4, площа дорівнює 30, і шукати основи окремо не треба.

На рисунку довідки a позначає нижню основу, b верхню, а висоту проведено з кінця верхньої основи. Яку основу назвати a, байдуже. Від перестановки доданків сума не змінюється.

Висота рівнобічної й прямокутної трапеції

Найчастіше висоти в умові немає, і її знаходять з прямокутного трикутника, який відтинає висота. У рівнобічній трапеції бічні сторони рівні, кути при кожній основі теж рівні. Дві висоти з кінців меншої основи ділять більшу на три відрізки. Середній дорівнює меншій основі, а крайні однакові.

Ліворуч основи 20 і 8 та бічні сторони по 10. Кожен крайній відрізок дорівнює половині різниці основ, тобто 6, висота 8, площа 14 · 8 = 112. Якщо забути поділити різницю навпіл і взяти 12, під коренем вийде 100 − 144 = −44. З від'ємного числа корінь не добувають, і це перший сигнал помилки.

У прямокутній трапеції одна бічна сторона перпендикулярна до основ і сама є висотою. Похила сторона відтинає від більшої основи всю різницю основ, без ділення навпіл. Праворуч основи 10 і 4, похила сторона 10, тому висота знову 8, а площа 7 · 8 = 56. Ту саму відповідь дають прямокутник 4 на 8 і прямокутний трикутник з катетами 6 і 8, бо 32 + 24 = 56.

Коли діагоналі перпендикулярні

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, її висота дорівнює середній лінії. Тоді площа дорівнює квадрату висоти, S = h².

Діагоналі рівнобічної трапеції рівні, і точка перетину ділить їх так, що OA = OD, OB = OC. Тому трикутники AOD і BOC рівнобедрені й прямокутні. Висота такого трикутника, проведена до гіпотенузи, є і медіаною, тож дорівнює половині гіпотенузи. Звідси відрізки 5 і 2 на рисунку, половини основ 10 і 4, тож висота 7 і площа 7 · 7 = 49.

Працює і обернене твердження. Якщо висота рівнобічної трапеції дорівнює її середній лінії, діагоналі перпендикулярні. Решту властивостей прямокутного трикутника зібрано в статті про формули трикутника.

Дві пастки на середній лінії в завданні ЗНО-2020

Завдання 23 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

У чотирикутнику ABCM протилежні сторони попарно паралельні, тож це паралелограм, і AM = BC = 12. Його периметр 84 дорівнює подвоєній сумі AB і 12, тому AB = 42 − 12 = 30, варіант Б. Трикутники OBC і OKM подібні, бо BC паралельна KM, а BO відноситься до OK як 2 до 3. Тому MK у півтора раза довший за BC, тобто 18, варіант В.

Для середньої лінії потрібна вся основа AD. З паралелограма BCDK так само KD = 12, тому AD = 12 + 18 + 12 = 42, а середня лінія дорівнює півсумі 42 і 12, тобто 27, варіант Г. Обидва хибні варіанти чекають саме тут. Сума основ без ділення навпіл дає 54, варіант Д, а половина лише AD дає 21, варіант А.

Скільки стовпчиків уздовж заїзної кишені

Завдання 16 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

П'ятнадцять стовпчиків через 1 м утворюють 14 проміжків, тож BC = 14 м. Різниця основ 38 − 14 = 24 м, і кожна бічна сторона рівнобічної трапеції відтинає від AD по 12 м. Ширина кишені 5 м і є висотою. Тому бічна сторона дорівнює гіпотенузі з катетами 12 і 5, тобто 13 м, бо 12² + 5² = 169 = 13².

Ламана ABCD має довжину 13 + 14 + 13 = 40 м, а стовпчиків на ній на один більше, 41, варіант Б. Хто рахує стовпчики на кожній стороні окремо, отримує 14 + 15 + 14 = 43 і варіант Г, бо стовпчики в точках B і C зараховано двічі. А 39 виходить, якщо забути про ширину кишені й узяти бічну сторону 12 м. Тоді ламана має 12 + 14 + 12 = 38 м, і стовпчиків 39, варіант А.

Криволінійна трапеція з іншої теми

У темі про інтеграл трапляється криволінійна трапеція. Назва схожа, але зверху її обмежує графік функції, а не відрізок, і площу знаходять інтегралом, як пояснює стаття про площу криволінійної трапеції.

Коли графік є прямою, дві теми зустрічаються. Під прямою y = x + 1 на відрізку від 0 до 4 лежить звичайна прямокутна трапеція з основами 1 і 5 та висотою 4. Інтеграл дає площу 12, і стільки ж дає півсума основ 3, помножена на 4.

Як я раджу розв'язувати задачі на трапецію

Я раджу починати з двох висот, проведених з кінців меншої основи. Вони розрізають трапецію на прямокутник і два прямокутні трикутники, і після цього більшість задач зводиться до теореми Піфагора. Окремих формул для висоти рівнобічної чи прямокутної трапеції я б не запам'ятовував. Їх відновлюють з такого рисунка за хвилину.

На заняттях ми часто бачимо, що помиляються не у формулі площі, а раніше. Різницю основ ділять навпіл там, де цього робити не треба, або забувають поділити. Рисунок з двома висотами знімає це питання.

Шість трапецій, площу яких треба знайти

Рисунки виконано в масштабі. Однакові риски позначають рівні відрізки, синя лінія у другій задачі є середньою лінією.

Трапеції в третій, п'ятій і шостій задачах рівнобічні, у четвертій прямокутна.

Відповіді

Якщо в третій вийшло 143, ви помножили середню лінію на бічну сторону, а не на висоту. Відповідь 64 у шостій означає, що суму основ не поділили навпіл.

Більше трапецій для тренування

Задачі на трапецію у форматі НМТ є в безкоштовному тесті «Чотирикутники». Означення й ознаки зручно повторювати за флешкартками, а більше задач зібрано в PDF-збірнику. Формули площ усіх фігур зведено на одній сторінці в статті про формули площ і об'ємів, а трапеції, вписані в коло й описані навколо кола, розібрано в огляді кола й чотирикутників на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Обидва завдання взято з додаткових сесій ЗНО-2020 і ЗНО-2021, фрагмент довідки з демонстраційного варіанта НМТ-2026, а відповіді до завдань і вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Формулу площі трапеції наведено так, як у довідкових матеріалах НМТ-2026, а що міститимуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.