Площа фігури через інтеграл: межі беруть на осі x, а не на осі y

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Площа фігури під графіком невід'ємної функції f на відрізку від a до b дорівнює визначеному інтегралу від f у цих межах. Якщо фігуру обмежують два графіки, від верхньої функції віднімають нижню й інтегрують між абсцисами точок їх перетину. Сам інтеграл обчислюють за формулою Ньютона-Лейбніца як різницю значень первісної на кінцях відрізка.

Межі інтегрування завжди беруть на осі x. Звучить очевидно, але в трьох офіційних завданнях, які ми розберемо нижче, неправильні варіанти відповіді побудовано саме на межах, узятих з осі y.

На лівому рисунку фігуру обмежують графік, вісь x і дві вертикальні прямі. Таку фігуру називають криволінійною трапецією. На правому рисунку фігуру зверху обмежує графік f, знизу графік g, а межами слугують абсциси точок їх перетину.

Що з цього є в довіднику НМТ

Розділ «Первісна функції та визначений інтеграл» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довіднику є таблиця первісних і сама формула Ньютона-Лейбніца, тож обчислювальну частину можна підглянути. Але таблиця коротка, і з показникових функцій у ній лише e в степені x. Первісної для 2 в степені x там немає, і це стане важливим у завданні НМТ-2026, яке ми розберемо далі.

Програма і довідник тут розходяться

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, тема «Первісна та визначений інтеграл». Ліворуч уміння для рівня стандарту і профільного рівня, праворуч лише для профільного. Джерело: testportal.gov.ua.

Обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла програма вимагає від усіх, а застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца лише на профільному рівні. Формально виходить, що площу знати треба, а основний спосіб її обчислити ні. На практиці це розходження знімає довідник НМТ, де формула надрукована. Тому я раджу вчити тему повністю, разом з обчисленням, навіть якщо в школі у вас рівень стандарту.

Межі на осі x: завдання ЗНО-2019

Завдання 18 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Зафарбована фігура лежить між x = 2 і x = 7, зверху її обмежує f, знизу g. Правильна відповідь Г. Варіанти А і Б беруть межі 1 і 4, але це значення функцій, позначені на осі y. Варіант Д ставить функції у зворотному порядку, і такий інтеграл дає від'ємне число, а площа від'ємною не буває. Варіант В додає функції замість того, щоб віднімати.

Хто зверху: додаткова сесія того самого року

Завдання 18 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут межі доведеться знайти самостійно, розв'язавши рівняння «корінь з x дорівнює x поділене на 2». Його корені 0 і 4. Щоб зрозуміти, яка функція зверху, підставте будь-яке число між коренями, наприклад 1: корінь з одиниці більший за половину. Отже, правильна відповідь В. Варіанти А і Б знову беруть верхню межу 2 з осі y, Г ставить функції в неправильному порядку, а Д їх додає.

Якщо довести обчислення до кінця, площа дорівнює чотирьом третім. У тестовому завданні число не потрібне, але для самоперевірки воно корисне.

НМТ-2026: досить скласти формулу

Завдання 12 з демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Пряма y = 2 перетинає графік показникової функції в точці x = 1, тож межі від 0 до 1. Зверху пряма, знизу крива, і правильна відповідь Г. Варіанти А і Д знову беруть верхню межу 2, тобто значення з осі y. Варіант Б рахує площу під кривою, а не між лініями, а В міняє функції місцями.

Цікаво, що обчислити цю площу за довідником не вийде, бо первісної для 2 в степені x у ньому немає. Ця первісна дорівнює 2 в степені x, поділеному на натуральний логарифм двох, і площа виходить приблизно 0,56. Але завдання просить лише формулу, і в цьому його зміст. Перевіряють уміння скласти інтеграл за рисунком, а не обчислювальну техніку.

Як я раджу читати такі рисунки

Я прошу учнів починати не з інтеграла, а з двох запитань до рисунка. Де фігура починається і де закінчується по горизонталі? Яка лінія обмежує її зверху, а яка знизу? Відповіді на них і є межі та порядок функцій. Числа на осі y в таких завданнях майже завжди відволікають, і укладачі тестів це добре знають.

Правило «верхня мінус нижня» працює і для фігур під віссю x. Тоді верхньою лінією стає сама вісь, тобто y = 0, і від нуля віднімають функцію. Різниця виходить додатною, як і має бути для площі.

6 фігур для тренування

Знайдіть площу фігури, обмеженої заданими лініями. Спершу намалюйте ескіз і знайдіть точки перетину.

Відповіді

Шоста відповідь найкрасивіша: площа під гіперболою від 1 до e дорівнює натуральному логарифму числа e, тобто одиниці.

Таблицю первісних і зв'язок інтеграла з похідною ми розбирали в статті про первісну й інтеграл через похідну. Загальний огляд теми є в матеріалі про похідну та інтеграл на НМТ, а повний вміст довідника розібрано в статті про довідкові матеріали НМТ. Похідні, з яких складається таблиця первісних, зібрано в статті про правила диференціювання.

Більше задач

Безкоштовний тест «Первісна та інтеграл», колода флешкарток до нього і PDF-збірник з тією самою назвою.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання, довідник і програму взято з офіційних документів УЦОЯО та МОН на testportal.gov.ua, а площі у вправах перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Опубліковано 5 жовтня 2026 року. Площа через інтеграл стоїть у чинній програмі на рівні стандарту, формула Ньютона-Лейбніца на профільному рівні; чи збережеться такий поділ для НМТ-2027, на цю дату не відомо.