Правильний многокутник. Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

Правильний многокутник має всі сторони рівні й усі кути рівні. Кут правильного n-кутника дорівнює 180° · (n − 2), поділеному на n, тож у трикутника це 60°, у квадрата 90°, у шестикутника 120°.

Сторону a і радіуси описаного й вписаного кіл R і r пов'язує прямокутний трикутник з гіпотенузою R і кутом β при центрі, де β дорівнює 180°, поділеному на n. Звідси a = 2R sin β і r = R cos β. У шестикутника β = 30°, тому a = 2R · 0,5 = R, тобто сторона дорівнює радіусу описаного кола. Площа будь-якого правильного многокутника дорівнює половині добутку периметра на r.

З рівності a = R випливає старий спосіб побудови. Циркуль з розхилом, рівним радіусу, обходить коло рівно за шість кроків, і шість позначок стають вершинами правильного шестикутника без жодних вимірювань.

На рисунку правильний п'ятикутник. Його центр O однаково віддалений від усіх вершин і від усіх сторін, тому вписане й описане кола мають спільний центр. Перпендикуляр OM ділить сторону AB навпіл, і в трикутнику OMB гіпотенуза дорівнює R, катети дорівнюють r і половині сторони, а кут при вершині O дорівнює β.

Кут многокутника α теж видно з рисунка. Трикутник AOB рівнобедрений, кути при основі в нього по 90° − β, а кут многокутника складається з двох таких кутів сусідніх трикутників. Виходить 180° − 2β, а 2β і є центральним кутом φ. Кут многокутника й центральний кут у сумі завжди дають 180°, у п'ятикутника це 108° і 72°.

Шість рівносторонніх трикутників

Центральний кут шестикутника дорівнює 60°, шостій частині від 360°. Трикутник з вершиною в центрі має дві сторони по R, і кути при основі в нього рівні, разом 120°, по 60° кожен. Усі три кути однакові, тому трикутник рівносторонній, і сторона шестикутника дорівнює R.

Решта властивостей випливає з цих трикутників. Радіус вписаного кола збігається з висотою рівностороннього трикутника й дорівнює a√3, поділеному на 2. Площа в шість разів більша за площу одного трикутника, і при a = 4 вона дорівнює 24√3 ≈ 41,6. Велика діагональ проходить через центр і є діаметром, тому дорівнює 2a.

Якщо з'єднати позначки циркуля через одну, вийде правильний трикутник, вписаний у те саме коло, зі стороною R√3. Висоту й площу рівностороннього трикутника разом з іншими формулами зібрано в статті про формули трикутника.

Трикутник, квадрат і шестикутник в одній таблиці

Верхні три рядки дають кут, а також сторону й радіус вписаного кола через R. Нижні три виражають R, r і площу через сторону a.

Найчастіше шукають такі значення. У правильного трикутника a = R√3, а r удвічі менший за R. У квадрата a = R√2, R дорівнює половині діагоналі, а r половині сторони. У шестикутника a = R, а площа дорівнює 3a²√3, поділеному на 2.

Ці самі радіуси знадобляться в задачах на правильну піраміду. У статті про формули піраміди показано, як r і R основи стають катетами прямокутних трикутників усередині піраміди.

Кути інших правильних многокутників

Для інших n точна сторона виходить громіздкою, зате кут виражається цілим числом градусів щоразу, коли 360 ділиться на n націло.

Кут правильного п'ятикутника 108°, восьмикутника 135°, дев'ятикутника 140°, десятикутника 144°, дванадцятикутника 150°, вісімнадцятикутника 160°. Обернена задача розв'язується так само коротко. Якщо кут многокутника 140°, центральний кут 40°, а 40° вміщується в 360° дев'ять разів, тож у многокутника 9 сторін.

Що є в програмі й чого немає в довіднику

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Планіметрія», тема «Многокутники». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності; окремі колонки для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Правильний многокутник і його властивості, а також вписані й описані многокутники стоять у колонці рівня стандарту. Опуклий многокутник і сума кутів опуклого многокутника записані тільки в профільну колонку. Для правильних многокутників це мало що змінює, бо їхній кут виходить з центрального кута без формули суми.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 немає жодної формули для правильних многокутників, ні кута, ні сторони через радіус, ні площі. Зате там є таблиця значень синуса й косинуса для 30°, 45° і 60°, а саме такий кут β у шестикутника, квадрата й трикутника. Для цих трьох фігур формули a = 2R sin β і r = R cos β можна довести до числа, маючи лише довідник. Значення для інших кутів зібрано в таблиці тригонометричних функцій.

Шестикутник і число π

Периметр вписаного шестикутника дорівнює 6R, тобто трьом діаметрам. Довжина кола дорівнює π діаметрам і більша за периметр, бо кожна дуга довша за хорду, яка її стягує. Звідси π більше за 3, і це видно без обчислень.

Якщо подвоювати кількість сторін, периметр підбирається до довжини кола. Відношення периметра до діаметра дорівнює n sin β, і для 96-кутника воно вже 3,1410. Так оцінював π Архімед. Він почав із шестикутника, дійшов до 96 сторін і, порівнявши вписаний і описаний многокутники, довів, що π лежить між 3,1408 і 3,1429.

Як рахувати довжину кола, дуги й площу сектора, пояснює стаття про коло й круг.

Колесо огляду із ЗНО-2020

Завдання 19 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Кабінки закріплено на однаковій відстані, і місця кріплення утворюють правильний 18-кутник. Центральний кут між сусідніми кабінками дорівнює 360°, поділеному на 18, це 20°, і дуга AB становить вісімнадцяту частину кола. Довжина кола 2π · 27 = 54π м, тому дуга дорівнює 3π ≈ 9,42 м. Найближча відповідь Б, 9,5 м.

Хорда AB, сторона цього 18-кутника, дорівнює 2 · 27 · sin 10° ≈ 9,38 м. Вона коротша за дугу менш ніж на 5 см, тому навіть той, хто порахував би сторону многокутника, обрав би Б. З таблиці вище видно, що для 18 сторін відношення периметра до діаметра вже 3,1257, майже π.

Що я раджу тримати в голові

Я б не заучував окрему формулу для кожного многокутника. Достатньо пам'ятати трикутник OMB з гіпотенузою R, катетом r і кутом β при центрі та два факти. У шестикутника сторона дорівнює R, а в квадрата R дорівнює половині діагоналі. Решта виводиться з них за хвилину, і це надійніше за таблицю, яку на тесті можна переплутати.

R і r дуже часто міняють місцями. Допомагає просте правило. R веде до вершини, r до середини сторони, і r завжди менший. Якщо у відповіді r вийшов більшим за R, шукайте помилку в синусі чи косинусі.

Шість задач на кути, сторони й радіуси

У задачах n означає кількість сторін правильного многокутника, a сторону, R і r радіуси описаного й вписаного кіл, α кут многокутника, S площу. У п'ятій розбийте многокутник на трикутники з вершиною в центрі.

Корені у відповідях залишайте в точному вигляді.

Відповіді

Якщо в першій вийшло 24°, ви знайшли центральний кут, а питали кут многокутника. Відповідь 8 у третій означає, що правило a = R перенесли із шестикутника на трикутник, а 300√3 у п'ятій виходить, коли замість sin 30° взяли cos 30°.

Задачі на вписане й описане коло

Задачі, де многокутник вписано в коло або описано навколо нього, зібрано в тренажері «Вписане і описане коло». Перевірити себе у форматі НМТ можна в безкоштовному тесті «Коло та круг», а означення фігур зручно повторювати за флешкартками «Найпростіші геометричні фігури на площині».

Правильні трикутник, квадрат і шестикутник часто лежать в основі призми, про такі тіла є стаття про формули призми. Формули площ усіх плоских фігур на одній сторінці зібрано в довіднику формул площ і об'ємів.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання про колесо огляду взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2020, фрагмент програми з наказу МОН № 1513, а відповіді й усі значення в таблицях перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 7 жовтня 2026 року. У довідкових матеріалах НМТ-2026 формул правильних многокутників не було, а що міститимуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.