Довжина кола, площа круга, сектора й сегмента. Сегмент рахують через сектор і трикутник

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Довжина кола дорівнює C = 2πR = πd, площа круга S = πR². Дуга з центральним кутом α° становить таку частину кола, яку кут α становить від 360°. Сектор з тим самим кутом займає таку саму частину круга. Площу сегмента окремою формулою можна не запам'ятовувати. Від площі сектора віднімають площу трикутника, утвореного двома радіусами й хордою.

Одна властивість довжини кола зазвичай дивує. Якщо радіус збільшити на 1 м, коло подовжиться на 2π ≈ 6,28 м, і неважливо, монета це чи екватор Землі.

Кут 90° дає чверть кола, кут 60° шосту частину. Коло радіусом 12 см має довжину 24π см, тож дуга в 60° дорівнює 4π ≈ 12,57 см. Площа круга 144π см², і сектор з тим самим кутом має площу 24π ≈ 75,40 см². Формула через дугу дає те саме, бо половина добутку 4π на 12 дорівнює 24π.

Плюс метр до радіуса Землі

Довжина кола пропорційна радіусу. Коло радіуса R + 1 має довжину 2π(R + 1) = 2πR + 2π, тож приріст дорівнює 2π за будь-якого R. Для монети й для екватора, довжина якого близько 40 000 км, відповідь однакова.

На цьому побудовано стару задачу про мотузку. Її натягнули по екватору, подовжили на 2π м, тобто приблизно на 6,28 м, і рівномірно підняли над землею. Під мотузкою по всьому колу утвориться зазор 1 м, і під нею вільно пробіжить кіт. Інтуїція підказує мікрони, бо шість метрів на тлі сорока тисяч кілометрів здаються нічим, але приріст треба порівнювати не з довжиною екватора, а з 2π.

Сегмент дорівнює сектору без трикутника

Хорда AB відтинає від круга сегмент. Якщо додати до нього трикутник AOB з вершиною в центрі, вийде сектор. Тому площа сегмента дорівнює площі сектора мінус площа трикутника, а трикутник з двома сторонами R і кутом α між ними має площу, рівну половині R² sin α. Цю й інші формули площі трикутника зібрано в статті про формули трикутника.

Для радіуса 6 і кута 90° сектор має площу 9π, трикутник 18, а сегмент 9π − 18 ≈ 10,27. Коли центральний кут більший за 180°, як у нижньому рядку, трикутник уже не віднімають, а додають. Формулу з синусом при цьому міняти не треба. Синус кутів між 180° і 360° від'ємний, наприклад sin 270° = −1, тому мінус перед трикутником сам перетворюється на плюс.

Наскільки сегмент менший за свій сектор, залежить лише від кута, а не від радіуса. Таблицю пораховано за тією самою формулою.

При 60° сегмент становить близько 17 % сектора, при 90° близько 36 %, при 120° близько 59 %, а при 30° лише 4,5 %. При 180° трикутник вироджується у відрізок, і сегмент збігається з півкругом.

Для малих кутів дуга майже збігається з хордою, і сегмент стає тонкою смужкою. У колеса огляду радіусом 27 м з 18 кабінками дуга між сусідніми кабінками дорівнює 3π ≈ 9,42 м, а хорда близько 9,38 м. Кабінки такого колеса утворюють правильний 18-кутник, і про такі фігури є окрема стаття про правильний многокутник.

Дві формули з п'яти є в довідці

Розділи «Коло» і «Круг» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Для кола довідка НМТ-2026 дає довжину L = 2πR і рівняння кола, для круга лише S = πR². Довжини дуги, площі сектора й сегмента в ній немає. Довжину кола там позначено L, а не C, але це та сама величина.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Планіметрія», тема «Геометричні величини та вимірювання їх». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, окремо для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

У програмі площа сектора стоїть серед формул рівня стандарту, а площа сегмента тільки в колонці профільного рівня. Тобто дугу й сектор знати треба, хоча в довідці їх немає. Сегмента як окремої формули рівень стандарту не вимагає, але сам сегмент трапляється в задачах про арки, як у завданні ЗНО-2018 нижче.

Що я б тримав у пам'яті

Напам'ять я б тримав не формули, а дві думки. Дуга й сектор становлять від кола й круга ту саму частку, що й кут від 360°. Сегмент видно на рисунку як сектор без трикутника, щойно проведено два радіуси. Ще варто пам'ятати, що вписаний кут удвічі менший за центральний, який спирається на ту саму дугу. Цього в довідці немає, а саме на цьому побудовано пастку в демоваріанті НМТ-2026.

Вписаний кут у демоваріанті НМТ-2026

Завдання 15 з демонстраційного варіанта НМТ-2026 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Кут ACB вписаний, його вершина лежить на колі. Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається, тож дуга AB має 60°, тобто шосту частину кола. Довжина всього кола 6 · 25 = 150 см, варіант А.

Хто прийме 30° за центральний кут, вирішить, що дуга становить дванадцяту частину кола, і отримає 12 · 25 = 300 см, варіант Б. Про вписані й центральні кути докладніше в статті про коло й чотирикутники на НМТ.

Від площі сектора до площі прямокутника

Завдання 22 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Сектор з кутом 90° займає чверть круга. Його площа 100π дорівнює чверті від πR², звідки R² = 400 і R = 20 см. Сторона AD і є цим радіусом, тож AD = 20 см.

Друга частина тримається на одному спостереженні. Точка M лежить на дузі, тому AM теж радіус і дорівнює 20 см. У прямокутному трикутнику ABM гіпотенуза 20, катет BM = 16, тож AB = 12, а площа прямокутника 12 · 20 = 240 см². Хто сплутає BM з AB, отримає 16 · 20 = 320 см², і в завданні з відкритою відповіддю така помилка нічим себе не видасть.

Арка в стіні як круговий сегмент

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Верх прорізу між хордою BC і дугою BFC є круговим сегментом. Хорда BC дорівнює AD, тобто 1,6 м, а її половина 0,8 м. Центр кола, середина хорди й точка B утворюють прямокутний трикутник з гіпотенузою 1 і катетом 0,8, тож другий катет 0,6 м. Це відстань від центра до хорди, і висота сегмента дорівнює 1 − 0,6 = 0,4 м.

Найвища точка F піднята над підлогою на 2 + 0,4 = 2,4 м, тому d = 2,75 − 2,4 = 0,35 м, варіант Г. Варіант В спокушає тим, що число 0,4 з'являється в розв'язанні, але це висота сегмента, а не відстань до стелі.

Сектор у радіанах і розгортка конуса

Якщо кут виміряно в радіанах, формули коротшають. Довжина дуги l = Rα, а площа сектора дорівнює половині R²α, бо куту 180° відповідає π радіан. Як переводити градуси в радіани, пояснює стаття про радіанну міру кута.

Формула сектора через дугу пояснює одну формулу з довідки НМТ-2026, яку зазвичай просто запам'ятовують. Бічна поверхня конуса розгортається в сектор, радіус якого дорівнює твірній, а дуга дорівнює довжині кола основи 2πR. Половина добутку 2πR на твірну L дає πRL, саме так у довідці записано площу бічної поверхні конуса. Буква L там означає вже твірну, а не довжину кола, як у розділі «Коло».

Інші формули конуса, циліндра й кулі зібрано в статті про тіла обертання.

Шість задач на дуги, сектори й сегменти

Значок біля кожної задачі показує, що треба знайти, довжину чи площу і якої саме частини круга. Кути дано в градусах, відповідь можна залишити з π.

У шостій задачі π скорочується, і відповідь виходить у градусах.

Відповіді

Якщо в третій вийшло π, ви поділили на 360, як у формулі площі сектора. Відповідь 4π у п'ятій означає, що ви знайшли сектор і не відняли трикутник. А 4π − 16 виходить, якщо взяти трикутник без половини, і таке число від'ємне, бо 4π ≈ 12,57.

Більше задач на коло й круг

Перевірити себе на завданнях у форматі НМТ можна в безкоштовному тесті «Коло та круг». Для повторення означень є флешкартки, задачі за темою зібрано в PDF-збірнику, а вписані й описані кола окремо відпрацьовує тренажер «Вписане і описане коло». Усі формули площ і об'ємів, від трикутника до кулі, зведено в довіднику формул на одній сторінці.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято з демонстраційного варіанта НМТ-2026 і сертифікаційних робіт ЗНО-2018 та ЗНО-2021, фрагменти довідки й програми з офіційних документів, а відповіді й частки в таблиці перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 7 жовтня 2026 року. Порівняння з довідкою зроблено за демонстраційним варіантом НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, на цю дату не визначено.