Прямокутний паралелепіпед і куб. Діагональ знаходять, двічі застосувавши теорему Піфагора

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Прямокутний паралелепіпед з вимірами a, b і c має об'єм V = abc і площу повної поверхні S = 2(ab + bc + ac). Його діагональ d знаходять з рівності d² = a² + b² + c², тобто діагональ дорівнює кореню із суми квадратів трьох вимірів. У куба всі ребра рівні, тому V = a³, S = 6a², діагональ куба a√3, а діагональ грані a√2.

Ребер у паралелепіпеда дванадцять, по чотири кожного виміру, і сума всіх ребер дорівнює 4(a + b + c). А діагональ буває цілою навіть тоді, коли жодна грань не має цілої діагоналі. У коробки з ребрами 2, 3 і 6 діагональ рівно 7, хоча діагоналі граней √13, √40 і √45.

Літерою L на рисунку позначено суму довжин усіх ребер. Формули куба виходять із формул паралелепіпеда, якщо взяти a = b = c. Наприклад, у куба з ребром 5 об'єм 125, площа поверхні 150, а діагональ 5√3 ≈ 8,66.

Діагональ за два кроки

Діагональ A₁C з'єднує дві вершини, які не лежать в одній грані, і для неї вистачає двох прямокутних трикутників. Спершу з трикутника ADC знаходять діагональ основи AC. Потім помічають, що ребро AA₁ перпендикулярне до всієї основи, а значить, і до AC. Трикутник A₁AC прямокутний з прямим кутом при вершині A.

На рисунку коробка з ребрами 16, 12 і 15. Квадрат діагоналі основи дорівнює 256 + 144 = 400, тож AC = 20. Далі 400 + 225 = 625, і діагональ A₁C = 25. Обидва трикутники тут подібні до єгипетського зі сторонами 3, 4 і 5, тому відповідь ціла.

Якщо підставити перший крок у другий, вийде загальна формула d² = a² + b² + c². Яку грань взяти за основу, не має значення, сума трьох квадратів від цього не зміниться. Квадрати чисел до 25 краще впізнавати з першого погляду, їх зібрано в таблиці квадратів і кубів.

Я раджу на тесті проходити обидва кроки, навіть коли формулу пам'ятаєте. У задачах часто питають не саму діагональ, а кут між нею та площиною основи. Цей кут лежить у трикутнику A₁AC при вершині C, і для нашої коробки його синус дорівнює 15, поділеному на 25, тобто 0,6. Якщо одразу підставляти числа у формулу діагоналі, цей трикутник можна й не помітити.

Коробки з цілою діагоналлю

Трійки на зразок 3, 4 і 5 знають усі. Для паралелепіпеда існують такі самі четвірки, і з них зручно складати задачі з цілою відповіддю.

У четвертому стовпчику діагональ грані зі сторонами a і b. Найменша така коробка має ребра 1, 2 і 2, а її діагональ дорівнює 3. Далі йдуть коробка 2 × 3 × 6 з діагоналлю 7, коробка 1 × 4 × 8 з діагоналлю 9 і коробка 2 × 6 × 9 з діагоналлю 11.

Лише в коробки 3 × 4 × 12 з цієї таблиці цілі обидва кроки. У грані 3 × 4 лежить єгипетський трикутник з діагоналлю 5, а 5, 12 і 13 теж піфагорова трійка. У таблицю потрапили тільки коробки з діагоналлю до 13 і без спільного множника всіх трьох ребер. Якщо всі ребра помножити на одне число, діагональ помножиться на нього ж, тож 2 × 4 × 4 дає 6, а 6 × 8 × 24 дає 26.

Три відстані в завданні ЗНО-2021

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Площина AA₁B₁ це ліва бічна грань AA₁B₁B. Ребро BC перпендикулярне до двох прямих цієї грані, AB і BB₁, тому й до всієї грані, і відстань від C до неї дорівнює BC = AD = 4. Ребро CC₁ перпендикулярне до основи, тому відстань від A до прямої CC₁ дорівнює діагоналі основи AC. За теоремою Піфагора AC² = 9 + 16 = 25, AC = 5.

Площини основ паралельні, і відстань між ними дорівнює бічному ребру AA₁ = 2. Відповідь 1В, 2Г, 3А. Варіант Д, 7, отримує той, хто склав ребра 3 і 4 замість теореми Піфагора. У першому реченні пастка Б, 3, хоча ребро AB лежить у самій площині AA₁B₁ і відстанню від C бути не може.

Складніші відстані від точки до прямої в просторі шукають за теоремою про три перпендикуляри.

Куб, у якому сховано рівносторонній трикутник

Завдання 24 із сертифікаційної роботи ЗНО-2019 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Пряма AC лежить в основі, а CC₁ перпендикулярна до основи, і ці прямі перетинаються під прямим кутом, це 1В. AB₁ і CD₁ лежать у протилежних гранях і не паралельні, тому вони мимобіжні, 2Б. AB₁ і C₁D паралельні, бо це протилежні сторони прямокутника AB₁C₁D, 4А.

Найцікавіша третя пара. Відрізки AC, CD₁ і AD₁ є діагоналями трьох граней куба, і кожен дорівнює a√2. Трикутник ACD₁ рівносторонній, тому кут між AC і CD₁ дорівнює 60°, відповідь Д.

Пастка тут варіант Г, 45°. Діагональ грані справді утворює 45° з ребром, і цей кут за інерцією переносять на дві діагоналі сусідніх граней. Як шукати кут між прямими, які не лежать в одній площині, пояснює стаття про мимобіжні прямі.

Що дає довідник і що треба дописати самому

Розділ «Об'ємні фігури та тіла» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Окремих формул для паралелепіпеда й куба в довідкових матеріалах НМТ-2026 немає, формули діагоналі теж. Є загальні формули прямої призми. Об'єм дорівнює площі основи, помноженій на висоту, а бічна поверхня дорівнює периметру основи, помноженому на висоту.

Прямокутний паралелепіпед і є прямою призмою з прямокутником в основі. Підставляємо площу основи ab, периметр 2(a + b) і висоту c та отримуємо V = abc і бічну поверхню 2(a + b)c. Повної поверхні довідник не дає, тому дві основи по ab треба додати самому. Діагональ доведеться виводити з теореми Піфагора, яка в довіднику є, але в розділі про трикутники.

Програма ЗНО з математики, затверджена наказом МОН № 1513, називає паралелепіпед серед основних видів многогранників поруч із призмою й пірамідою, і це зміст рівня стандарту. Призми з іншими основами, трикутником чи шестикутником, розібрано в статті про формули призми.

Якщо подвоїти всі ребра

Кожна грань стане вдвічі довшою й удвічі ширшою, тобто вчетверо більшою, тому площа поверхні зросте в 4 рази. Об'єм зросте у 2 · 2 · 2 = 8 разів. Куб з ребром 3 має поверхню 54 і об'єм 27, а в куба з ребром 6 поверхня 216 і об'єм теж 216. Числа збіглися, хоча одиниці різні, квадратні й кубічні.

Будь-яке тіло поводиться так само. Якщо всі його розміри збільшити в k разів, площа поверхні зросте в k² разів, а об'єм у k³ разів, докладніше про це в статті про формули об'ємів тіл.

Шість задач про коробки й куби

У задачах a, b і c виміри паралелепіпеда, d його діагональ, L сума всіх ребер, а запис a = b = c означає куб. У шостій вершини куба позначено так само, як у завданні ЗНО-2019.

У п'ятій спершу знайдіть третій вимір.

Відповіді

Якщо в третій вийшло 1000, ви поділили 60 на 6, а ребер у куба 12, і ребро дорівнює 5. Відповідь 4√2 у другій це діагональ грані, а питали діагональ куба.

Більше задач на паралелепіпед і призму

Завдання у форматі НМТ є в безкоштовному тесті «Призма». Формули зручно повторювати за флешкартками, а для роботи на папері є PDF-збірник «Призма» і збірник «Стереометрія НМТ, 90 задач з відкритою відповіддю».

Загальні поради до стереометричних задач тесту зібрано в статті про стереометрію на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2021 і ЗНО-2019, розділ довідника з демонстраційного варіанта НМТ-2026, а відповіді та значення в таблиці перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2019 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Довідкові матеріали НМТ-2026 окремих формул для паралелепіпеда й куба не містили, а зміст довідкових матеріалів НМТ-2027 поки не визначено.