Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків її ступінчастого вигляду

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Ранг матриці це найбільша кількість її лінійно незалежних рядків, тобто таких, що жоден із них не дорівнює сумі інших, помножених на якісь числа. Щоб знайти ранг, матрицю зводять до ступінчастого вигляду, і ранг дорівнює кількості ненульових рядків, що залишилися. Незалежних стовпців у будь-якій матриці рівно стільки ж, скільки незалежних рядків.

До ступінчастого вигляду ведуть елементарні перетворення рядків. Рядки можна переставляти, множити на ненульове число й додавати до одного рядка інший, помножений на число, і ранг від цього не змінюється. Ступінчастою матриця стає тоді, коли кожен наступний ненульовий рядок починається з більшої кількості нулів, ніж попередній, а нульові рядки стоять унизу.

Рівносильне означення дають мінори. Мінор k-го порядку це визначник, складений з елементів на перетині вибраних k рядків і k стовпців. Ранг дорівнює найбільшому порядку мінора, відмінного від нуля.

Найпростіший приклад дає матриця з рядками 1, 2 та 2, 4. Віднімемо від другого рядка подвоєний перший, отримаємо нульовий рядок, тож ранг дорівнює 1. А матриця, у якій по рядках записано числа від 1 до 9, має ранг 2, а не 3, хоча всі дев'ять чисел у ній різні.

Матриця з числами від 1 до 9

Першим кроком від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 4, а від третього перший, помножений на 7. Під одиницею в першому стовпці з'являються нулі. Другим кроком від третього рядка віднімаємо подвоєний другий, бо −6 = 2 · (−3). Номери рядків на схемі позначено римськими цифрами.

Третій рядок перетворився на нульовий. Ненульових рядків залишилося два, тому ранг дорівнює 2. Числа в ступінчастому вигляді можуть бути різними залежно від того, які дії вибрати, а кількість ненульових рядків завжди та сама.

Звідки взявся нульовий рядок

Нульовий рядок означає, що третій рядок виражається через перші два. Якщо простежити дії, на його місці опинилася комбінація III − 2 · II + I, і вона дорівнює нулю. Тобто третій рядок дорівнює подвоєному другому мінус перший.

Цю залежність видно й без обчислень. Кожен рядок більший за попередній на 3 в кожній позиції, тож рядки утворюють арифметичну прогресію, а в прогресії третій член завжди дорівнює подвоєному другому мінус перший. Тому будь-яка матриця, рядки якої йдуть з однаковим кроком, має ранг не більше 2.

Друга матриця на схемі ще простіша. Її другий рядок удвічі, а третій утричі більший за перший, і після одного кроку ненульовим залишається лише перший рядок. Ранг дорівнює 1.

Незалежних рядків і стовпців порівну

Ранг за рядками завжди дорівнює рангу за стовпцями. Транспонування, яке міняє рядки й стовпці місцями, рангу не змінює, а ранг матриці з m рядків і n стовпців не перевищує меншого з чисел m і n. Нульова матриця має ранг 0, і це єдина матриця з таким рангом.

У матриці 3 × 5 п'ять стовпців, але ранг не більший за 3, тож щонайменше два стовпці виражаються через інші. На схемі ранг дорівнює 3, а четвертий і п'ятий стовпці складено з перших трьох. Стовпці такої матриці можна вважати векторами з трьома координатами, і будь-які чотири з них залежні.

Ранг квадратної матриці й визначник

Для квадратної матриці n × n ранг дорівнює n тоді й тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Саме за цієї умови існує обернена матриця, тож ранг заразом показує, чи вдасться її знайти. У матриці з числами від 1 до 9 визначник нульовий, ранг менший за 3, і оберненої немає.

Метод мінорів дає ту саму відповідь. Мінор другого порядку з лівого верхнього кута дорівнює 1 · 5 − 2 · 4 = −3, тобто не нуль. Єдиний мінор третього порядку, сам визначник, дорівнює нулю. Тому ранг 2.

Для матриць 2 × 2 чи 3 × 3 мінори працюють швидко, бо там вистачає одного чи двох визначників. Але кожен мінор задається вибором k рядків і k стовпців, тож зі зростанням матриці їх стає дуже багато. У матриці 4 × 5 мінорів третього порядку вже 40, четвертого 5, і кожен із цих п'яти є визначником 4 × 4.

Для всього, що більше за 3 × 3, я раджу ступінчастий вигляд. Мінор мені потрібен хіба що для перевірки. Один ненульовий мінор порядку r підтверджує, що ранг не менший за r.

Теорема Кронекера–Капеллі на трьох системах

Ранг відповідає на головне питання про систему лінійних рівнянь, чи має вона розв'язки. Візьмемо систему x + 2y = 3, 2x + 4y = 7. Ліва частина другого рівняння вдвічі більша за ліву частину першого, а права частина ні, бо 7 не дорівнює 6. Тож розв'язків у системи немає.

Основна матриця A системи складається з коефіцієнтів при невідомих, а розширена матриця (A | B) містить ще й стовпець B вільних членів. Тут ранг A дорівнює 1, а ранг (A | B) дорівнює 2. Як систему записують у матричному вигляді AX = B, пояснює стаття про матриці.

Теорема Кронекера–Капеллі стверджує, що система сумісна, тобто має хоча б один розв'язок, тоді й тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної. Якщо цей спільний ранг r дорівнює кількості невідомих n, розв'язок єдиний. Якщо r менше за n, розв'язків безліч, і n − r невідомих можна брати довільними, їх називають вільними.

Друга система на схемі саме та, з якої ми почали. Після віднімання подвоєного першого рядка в ній з'являється рядок, що означає рівність 0 = 1. У першій системі праворуч стоїть 6, і друге рівняння є просто подвоєним першим. Для неї обидва ранги дорівнюють 1, і одна з двох невідомих вільна. Візьмемо y будь-яким, тоді x = 3 − 2y.

Третя система має обидва ранги 2, стільки ж, скільки невідомих, тож розв'язок єдиний, x = 1 і y = 1. Ранги обох матриць знаходять одним зведенням розширеної матриці. Це той самий прямий хід методу Гаусса, яким систему потім і розв'язують.

П'ять рангів і одна система

У п'ятій задачі шукайте λ, за якого другий рядок пропорційний першому, а в шостій таке значення a, щоб система стала сумісною.

Після того як a знайдено, у шостій системі одна невідома залишиться вільною.

Відповіді

Ранг 2 в першій задачі означає, що ненульові рядки порахували до зведення, хоча правило із заголовка працює лише для ступінчастого вигляду. Ранг 1 у третій виходить, якщо порівняти лише перші два стовпці, де пари 1, 2 та 2, 4 пропорційні, а 0 і 1 уже ні. Якщо ви вирішили, що в шостій розв'язків немає за жодного a, бо визначник нульовий, згадайте першу систему на схемі, де визначник теж нульовий, а розв'язків безліч.

Матриці для самостійної роботи

Ранг, системи лінійних рівнянь, визначники й обернену матрицю можна відпрацювати на численних вправах збірника «Матриці» серії «Вища математика». Розв'язок системи зручно перевіряти множенням матриць.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Ранг тут пов'язано із системами рівнянь так само, як у першому розділі силабусу КПІ, а всі ранги, визначники й відповіді перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• Булдигін В. В. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Навчальний посібник. Київ, ТВіМС, 2011: ela.kpi.ua

Матеріал підготовлено 12 жовтня 2026 року. Тема відповідає розділу «Елементи лінійної алгебри» першого курсу технічних спеціальностей.