Арифметична прогресія. Сума перших n членів дорівнює півсумі першого й останнього, помноженій на n

Андрій Стулішенко, засновник Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року.

В арифметичній прогресії кожен наступний член дорівнює попередньому, до якого додали те саме число d. Це число називають різницею прогресії. Від першого члена до n-го треба зробити n − 1 кроків, тому aₙ = a₁ + (n − 1)d. Сума перших n членів Sₙ дорівнює півсумі першого й останнього членів, помноженій на n, а якщо останній член невідомий, замість нього підставляють a₁ + (n − 1)d.

З формули суми випливає факт, якого зазвичай не чекають. Перші n непарних чисел у сумі завжди дають n², наприклад 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5².

У нижній рамці приклад. Прогресія 5, 8, 11, … має a₁ = 5 і d = 3, її десятий член дорівнює 32, а сума перших десяти членів 185. Щоб знайти різницю, від будь-якого члена віднімають попередній. Якщо d більше за нуль, прогресія зростає, якщо менше, спадає, а при d = 0 усі члени однакові.

Схоже влаштована геометрична прогресія, тільки в ній кожен наступний член отримують множенням на те саме число.

Як Гаусс додав числа від 1 до 100

Про формулу суми є відома історія. Учитель нібито звелів класу скласти всі числа від 1 до 100, а малий Карл Гаусс майже одразу назвав відповідь 5050. Він помітив, що 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 і так далі дають ту саму суму 101. Таких пар 50, тож разом 50 · 101 = 5050.

Той самий прийом можна записати інакше. Суму пишуть двічі, вдруге задом наперед, і додають стовпчиками. Кожен стовпчик дає 101, стовпчиків 100, тому подвоєна сума дорівнює 10 100.

Для будь-якої арифметичної прогресії міркування те саме, бо a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂. Коли від країв зсуваємося на крок усередину, один доданок збільшується на d, а другий на стільки ж зменшується. Тому 2Sₙ = (a₁ + aₙ) · n, звідки й формула суми. З тієї ж причини кожен член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх, і це характеристична властивість прогресії.

Дві формули з довідки НМТ

Розділ «Арифметична прогресія» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці є формула n-го члена, де різницю записано перед дужкою, і формула суми через крайні члени. Формули суми через a₁ і d там немає. Вона виходить, якщо в першу формулу суми підставити aₙ = a₁ + d(n − 1), тоді в чисельнику з'являється 2a₁ + d(n − 1).

Характеристичної властивості в довідці немає, як і формули для різниці двох довільних членів. А саме ця різниця розв'язує обидва завдання нижче.

Рахуйте кроки між членами, а не самі члени

Щоб від a₂ дійти до a₅, до a₂ тричі додають d. Членів на цьому відрізку чотири, а кроків між ними три, бо 5 − 2 = 3. Загалом aₘ − aₖ = (m − k)d, і перший член для цього знати не треба.

Порядок віднімання теж має значення. Якщо від члена з меншим номером відняти член із більшим, різниця номерів від'ємна, і тоді a₂ − a₅ = −3d.

Завдання 27 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Ліва частина умови дорівнює −3d, тому −3d = 7,8 і d = −2,6. Прогресія спадає, і це видно ще з умови, бо a₂ на 7,8 більший за a₅, хоча стоїть раніше. У другій частині від a₃ до a₁ два кроки назад, тож a₁ = a₃ − 2d = −1,8 + 5,2 = 3,4.

Відповідь 2,6 отримує той, хто записав a₂ − a₅ = 3d, тобто загубив знак. Хто рахує члени від a₂ до a₅, а не кроки, ділить 7,8 на чотири й отримує 1,95. А з неправильним знаком різниці друга частина дає −7 замість 3,4.

Завдання 24 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Формулу n-го члена тут уже задано, тому шостий член знаходимо підстановкою n = 6. Маємо a₆ = 5 − 3,6 · 6 = 5 − 21,6 = −16,6. Від a₂ до a₄ два кроки, тож a₄ − a₂ = 2d. Різниця прогресії дорівнює коефіцієнту при n, тобто −3,6, і відповідь −7,2.

Відповідь −3,6 означає один крок замість двох, а 7,2 з'являється, коли переплутано порядок віднімання. Ще одна пастка ховається в першій частині. Число 5 у формулі не є першим членом, бо a₁ = 5 − 3,6 = 1,4. Хто бере a₁ = 5 і рахує a₁ + 5d, отримує −13.

Прогресія як лінійна функція

Формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d можна переписати як aₙ = dn + (a₁ − d). Виходить лінійна функція від n із кутовим коефіцієнтом d, тільки n набуває натуральних значень. Тому на координатній площині члени прогресії лежать на одній прямій.

На рисунку прогресія із завдання 24. Пряма перетинає вісь ординат у точці 5, тобто число 5 відповідає n = 0, а не першому члену. Кожен крок праворуч опускає точку на 3,6.

Працює й обернене твердження. Будь-яка послідовність, задана формулою aₙ = kn + b, є арифметичною прогресією з різницею k, бо сусідні члени відрізняються рівно на k. Як знайти кутовий коефіцієнт за графіком, пояснює стаття про функції та графіки на НМТ.

Сума непарних чисел завжди квадрат

Непарні числа 1, 3, 5, 7, … утворюють прогресію з a₁ = 1 і d = 2, її n-й член дорівнює 2n − 1. Півсума першого й останнього членів дорівнює n, і після множення на кількість членів виходить n².

На рисунку те саме видно без формул. Кожен кутик із 2n − 1 клітинок добудовує квадрат зі стороною n − 1 до квадрата зі стороною n. Тож сума всіх непарних чисел від 1 до 99 дорівнює 2500, бо їх п'ятдесят, а 50² = 2500. Інші закономірності такого роду зібрано в статті про математичні дива й цікаві факти.

Одна формула суми замість двох

Я раджу не вчити другу формулу суми окремо, а користуватися тією, що є в довідці, через перший і останній члени. У неї зрозумілий зміст. Півсума крайніх членів дорівнює середньому арифметичному всіх членів прогресії, а середнє, помножене на кількість, і є сумою. Якщо останній член невідомий, його спершу знаходять за формулою n-го члена, і це той самий розрахунок, що й у другій формулі, тільки в два кроки.

У задачах із номерами членів я б спершу записав на чернетці різницю номерів. Помиляються тут зазвичай не у формулі, а саме в кількості кроків. Прогресії ховаються й у текстових задачах НМТ, наприклад про ряди крісел у залі, де кожен наступний ряд довший на кілька місць.

Шість прогресій, щоб перевірити себе

У четвертій задачі спершу з'ясуйте, скільки в сумі доданків. У шостій три вирази є трьома першими членами прогресії.

Усі шість відповідей цілі.

Відповіді

Якщо в першій вийшло −38, ви зробили 15 кроків замість 14, а 2,5 у другій означає ділення на кількість членів від a₄ до a₉ замість кількості кроків. Відповідь 579,5 у четвертій з'являється, коли доданків узято 19 замість 20, а 190 у п'ятій виходить, коли першим членом вважають −1.

Більше задач на прогресії

Завдання у форматі НМТ на обидві прогресії зібрано в безкоштовному тесті «Числові послідовності. Прогресії». Формули зручно повторювати за флешкартками, а ще більше задач є в PDF-збірнику. Як обидві прогресії трапляються в завданнях НМТ, розібрано в статті про прогресії на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2020 і ЗНО-2021, фрагмент довідки з демонстраційного варіанта НМТ-2026, а відповіді до завдань і вправ перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Формули прогресії наведено так, як їх подано в довідкових матеріалах НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.