Геометрична прогресія. Формули n-го члена й суми, за якими росте вклад з капіталізацією

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

У геометричній прогресії кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на те саме число q, яке називають знаменником прогресії. Звідси формула n-го члена bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сума перших n членів при q ≠ 1 дорівнює b₁, помноженому на qⁿ − 1 і поділеному на q − 1.

За цими формулами росте вклад із капіталізацією. Якщо покласти 10 000 грн під 12 % річних і щомісяця додавати нараховані відсотки до вкладу, через рік на рахунку буде 11 268,25 грн. Вклад зросте не на 12 %, а на 12,68 %.

Під формулами приклад. Прогресія 3, 6, 12, 24, … має b₁ = 3 та q = 2, її шостий член 96, а сума перших шести членів 189. Знаменник знаходять діленням будь-якого члена на попередній, і ні він, ні перший член не можуть дорівнювати нулю. При від'ємному q знаки членів чергуються, як у 3, −6, 12, −24.

Рівність bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ називають характеристичною властивістю. Для прогресії 27, 18, 12, 8 зі знаменником дві третіх маємо 18² = 27 · 12 = 324 та 12² = 18 · 8 = 144. Якщо всі члени додатні, кожен із них, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх.

Вклад під 12 % річних місяць за місяцем

Коли в умовах вкладу написано «12 % річних із щомісячною капіталізацією», щомісяця нараховують дванадцяту частину ставки, тобто 1 %, і додають ці гроші до вкладу. Сума щомісяця множиться на 1,01, і залишки на рахунку утворюють геометричну прогресію зі знаменником 1,01. Ставка 12 % тут умовна, з нею зручно рахувати.

У другому стовпчику таблиці 10 000 грн, покладені один раз. Після першого місяця на рахунку 10 100 грн, після другого 10 201 грн, після шостого 10 615,20 грн, а після дванадцятого 11 268,25 грн. Множник за рік дорівнює 1,01¹² ≈ 1,1268, звідси річний приріст 12,68 %. Як рахувати такі множники для будь-якої ставки, пояснює стаття про складні відсотки.

Третій стовпчик описує іншу схему. Наприкінці кожного місяця на рахунок докладають по 1 000 грн. Перший внесок лежить одинадцять місяців і встигає помножитися на 1,01 одинадцять разів, другий десять, а останній жодного разу. Тому наприкінці року на рахунку сума дванадцяти членів прогресії з b₁ = 1 000 та q = 1,01.

За формулою суми це 12 682,50 грн. Внесено 12 000 грн, а ще 682,50 грн дали відсотки. Через два місяці на рахунку 2 010 грн, через три 3 030,10 грн, через пів року 6 152,02 грн.

Я раджу порівнювати вклади не за ставкою, а за множником за рік. Ставка може бути однаковою, а гроші різними, якщо в одному договорі відсотки капіталізують щомісяця, а в іншому виплачують окремо. Податків та інфляції ці розрахунки не враховують, тож це арифметика, а не прогноз доходу. Як перетворити відсоток на множник, пояснює стаття про відсотки.

Копійка, яку подвоювали 30 днів

Першого дня вам дають 1 копійку, другого 2, третього 4, і далі щодня вдвічі більше, ніж напередодні. Скільки набереться за 30 днів? Щоденні суми утворюють геометричну прогресію з b₁ = 1 і q = 2, тож за формулою суми S₃₀ = 2³⁰ − 1 = 1 073 741 823 копійки. Це понад 10,7 млн грн.

Перші два тижні суми дрібні. На десятий день це 512 копійок, тобто 5,12 грн, на двадцятий 5 242,88 грн. А тридцятого дня приходить 2²⁹ = 536 870 912 копійок, понад 5,3 млн грн, і це більше, ніж за всі попередні 29 днів разом. При q = 2 так буває з кожним членом, бо сума всіх попередніх членів на одиницю менша за нього.

Мільйон гривень, тобто сто мільйонів копійок, набирається лише на 27-й день. За 26 днів виходить 2²⁶ − 1 = 67 108 863 копійки, а за 27 днів уже 2²⁷ − 1 = 134 217 727. Такі питання зводяться до показникових нерівностей, як у статті про показникові рівняння й нерівності.

Оцінити 2³⁰ без калькулятора допомагає 2¹⁰ = 1024. Звідси 2²⁰ = 1 048 576 і 2³⁰ = 1 073 741 824, трохи більше за мільярд. Правила дій зі степенями зібрано в статті про степінь і його властивості.

Задача ЗНО-2018, де відомі сума й знаменник

Завдання 27 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Формула суми з довідки працює й тоді, коли знаменник менший за одиницю. Чисельник і знаменник дробу стають від'ємними, а їхня частка додатна.

Є й шлях без формули. Чотири члени дорівнюють b₁, дві третіх b₁, чотири дев'ятих b₁ і вісім двадцять сьомих b₁. Після зведення коефіцієнтів до знаменника 27 у чисельниках опиняться 27, 18, 12 і 8, разом 65. Тому сума дорівнює 65 лише при b₁ = 27, а сама прогресія складається з тих самих чисел 27, 18, 12, 8.

Щоб не стежити за знаками, можна взяти рівносильний запис формули, де в чисельнику 1 − qⁿ, а в знаменнику 1 − q. Тільки не змішуйте два записи. Якщо в чисельнику стоїть 1 − q⁴, а в знаменнику q − 1, вийде −27.

Нескінченна сума, якої немає в довідці

Розділ «Геометрична прогресія» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

Довідка дає дві формули, n-го члена й суми перших n членів, з умовою q ≠ 1. При q = 1 усі члени однакові, і сума дорівнює n · b₁. Характеристичної властивості в довідці немає.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Функції». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності; окремі колонки для рівня стандарту й тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

У рядку «Числові послідовності» програма називає означення обох прогресій, формули n-го члена й формули суми n перших членів, а профільні колонки цього рядка порожні. Суми нескінченної спадної геометричної прогресії тут немає, як і в довідці НМТ-2026, тож обов'язковою для рівня стандарту її не назвеш.

Проте формула з пунктирної рамки на початку статті корисна. Якщо модуль q менший за одиницю, степінь qⁿ зі зростанням n прямує до нуля, а сума перших n членів наближається до b₁, поділеного на 1 − q. Тому суми 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + … підходять дедалі ближче до 2, а періодичний дріб 0,(3), тобто 0,3 + 0,03 + 0,003 + …, дорівнює одній третій. Я б знав цю формулу як наслідок формули суми, а не як окремий пункт для зазубрювання.

Порахуйте самі

У третій задачі три числа є послідовними членами прогресії. У шостій вклад двічі збільшується на дванадцяту частину від 6 %, тобто відсотки капіталізують щомісяця.

Відповіді цілі, крім шостої, де вийде сума з копійками.

Відповіді

Якщо в першій вийшло 80, показник степеня взято 4 замість 3. Відповідь 364 у четвертій означає, що доданків пораховано шість, хоча від 3⁰ до 3⁶ їх сім, а 20 200 у шостій дають прості відсотки, без нарахування відсотків на відсотки.

Тест і тренажери на прогресії та відсотки

Обидві прогресії є в безкоштовному тесті «Числові послідовності. Прогресії», а формули зручно повторювати за флешкартками. Ще більше задач на прогресії зібрано в PDF-збірнику, а задачі на вклади й множники є в тренажері «Відсотки».

Прогресію, де до кожного члена додають те саме число, розібрано в статті про арифметичну прогресію, а як обидві прогресії трапляються в завданнях НМТ, пояснює стаття про прогресії на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційної роботи ЗНО-2018, фрагменти довідки й програми з офіційних документів на testportal.gov.ua, а суми в таблицях, приклади й відповіді перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 7 жовтня 2026 року. Формули прогресії подано за довідковими матеріалами НМТ-2026, а що міститимуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.