Матриці, їхні види й дії з ними. Систему лінійних рівнянь записують одним рівнянням AX = B

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Матриця це прямокутна таблиця чисел з m рядків і n стовпців, її розмір записують як m × n. Елемент aᵢⱼ стоїть в i-му рядку і j-му стовпці. Матриці бувають квадратні, нульові, одиничні, діагональні, трикутні й симетричні, окремо виділяють матрицю-рядок і матрицю-стовпець.

Додають і віднімають лише матриці однакового розміру, поелементно. На число множать кожен елемент, при транспонуванні рядки стають стовпцями, а дві матриці перемножують рядок на стовпець. Систему 2x + 3y = 8, x − y = −1 записують як AX = B, її розв'язок x = 1, y = 2.

Звичайна фотографія у відтінках сірого теж є матрицею. Знімок 1920 × 1080 містить 2 073 600 чисел яскравості, проте як матриця він має розмір 1080 × 1920. У роздільній здатності першою пишуть ширину, тобто кількість стовпців, а в розмірі матриці першими йдуть рядки.

Матрицю A складають коефіцієнти при невідомих, по рядку на кожне рівняння. X це стовпець невідомих, B стовпець правих частин. Запис AX означає, що кожен рядок A множать на стовпець X, тобто перемножують відповідні числа й додають добутки. Перший рядок дає 2x + 3y, другий x − y, тож рівність AX = B повторює систему рядок за рядком.

Дві матриці рівні, коли в них однаковий розмір і однакові всі відповідні елементи. Через це одна рівність AX = B розпадається на два рівняння. Загальне правило множення матриць пояснено в статті про множення матриць рядок на стовпець.

НМТ спирається на програму ЗНО з математики, а матриць у ній немає. Зате лінійна алгебра на першому курсі технічних університетів із них починається, у силабусі КПІ це перший розділ.

Рядок, потім стовпець

У матриці на рисунку 3 рядки й 4 стовпці, тож у ній 3 · 4 = 12 елементів. Виділене число −4 стоїть у другому рядку й третьому стовпці, тому це a₂₃. Перший індекс завжди означає номер рядка, другий номер стовпця, і в записі розміру порядок той самий.

Матриця 4 × 3 теж має 12 елементів, але це вже інша матриця, із чотирма рядками. Я раджу щоразу подумки проговорювати «рядок, потім стовпець», навіть коли це здається зайвим. Переплутаний індекс рідко помітно одразу. Він спливає пізніше, у транспонуванні чи множенні, і знайти його там уже значно важче.

Види матриць на маленьких прикладах

У квадратної матриці, як перша на рисунку, рядків стільки ж, скільки стовпців. У ній виділяють головну діагональ, тобто елементи a₁₁, a₂₂, a₃₃ і далі, у яких номер рядка дорівнює номеру стовпця. На рисунку діагональ помаранчева. Матриця-рядок має розмір 1 × n, матриця-стовпець m × 1, а нульова матриця O складається із самих нулів.

Діагональна матриця має нулі скрізь поза головною діагоналлю, а одинична E це діагональна матриця з одиницями на діагоналі. У верхній трикутній матриці нулі стоять під діагоналлю, у нижній над нею. Симетрична матриця не змінюється при транспонуванні, бо aᵢⱼ = aⱼᵢ. Пари чисел, симетричні відносно діагоналі, позначено однаковим кольором.

Одна матриця може належати до кількох видів одразу. Одинична E водночас квадратна, діагональна, трикутна й симетрична.

Дії, які виконують поелементно

Сума A + B має той самий розмір, що й доданки, а кожен її елемент дорівнює сумі елементів, які стоять на тому самому місці. Для наших A і B вийшли рядки 1, 1 і 8, 6. Множник 3 стосується кожного із чотирьох елементів, тож 3A має рядки 3, 6 і 9, 12. Різницю 2A − B рахують у два кроки, спершу 2A, потім віднімають B, і виходять рядки 2, 5 і 1, 6.

Матрицю 2 × 2 не можна додати до матриці 2 × 3, бо елементам третього стовпця немає пари. З тієї самої причини не існує суми рядка 1 × 3 і стовпця 3 × 1, хоча чисел у них порівну. Для дозволених дій працюють звичні закони, A + B = B + A і λ(A + B) = λA + λB для будь-якого числа λ, а нульова матриця поводиться як нуль, A + O = A.

Транспонування й обернений порядок у добутку

При транспонуванні перший рядок стає першим стовпцем, другий рядок другим стовпцем і так далі. Матриця з рядками 1, 2 і 3, 4 після транспонування має рядки 1, 3 і 2, 4. Розмір 2 × 3 перетворюється на 3 × 2, а елемент з i-го рядка і j-го стовпця переходить у j-й рядок та i-й стовпець.

Двічі транспонована матриця збігається з початковою, (Aᵀ)ᵀ = A, а суму транспонують по доданках, (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. З добутком інакше. Тут (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, і множники міняються місцями.

Чому порядок обертається, видно з розмірів. За правилом множення матриць добуток існує, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Нехай A має розмір 2 × 3, а B розмір 3 × 4, тоді AB має розмір 2 × 4, а (AB)ᵀ розмір 4 × 2. Добуток BᵀAᵀ матриць 4 × 3 і 3 × 2 дає саме 4 × 2, а добуток AᵀBᵀ матриць 3 × 2 і 4 × 3 навіть не існує.

Три рівняння як одна рівність

З трьома невідомими запис той самий. Система x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 має квадратну матрицю коефіцієнтів A розміру 3 × 3. Коефіцієнт 1 у рівняннях не пишуть, але в матрицю його треба вписати, так само як −1 перед y чи z. На рисунку такі числа помаранчеві.

Підстановка x = 1, y = 2, z = 3 дає 1 + 2 + 3 = 6, 2 − 2 + 3 = 3 і 1 + 4 − 3 = 2, тож це розв'язок. Якщо якоїсь змінної в рівнянні немає, на її місці в матриці стоїть 0. Без нуля коефіцієнти зсуваються в чужий стовпець, і матриця описує вже іншу систему.

Матричний запис систему ще не розв'язує, але підказує шлях. Визначник цієї матриці A дорівнює 7, а не нулю. Тому розв'язок єдиний, і його дає обернена матриця, X = A⁻¹B. Нульовий визначник означав би, що рядки A лінійно залежні, і тоді кількість розв'язків з'ясовують через ранг матриці.

Оцінки в журналі й пікселі фотографії

Журнал оцінок класу з 25 учнів і 8 предметів є матрицею 25 × 8, у якій рядок відповідає учню, а стовпець предмету. Середнє арифметичне рядка дає середній бал учня, а середнє стовпця показує середній бал класу з одного предмета.

Картинка 7 × 7 пікселів ліворуч зберігається як матриця праворуч. Кожне число задає яскравість пікселя, від 0 для чорного до 255 для білого, і саме так записують зображення у відтінках сірого в звичайному 8-бітному форматі. Транспонування міняє рядки й стовпці місцями, тому стрілка, що дивилася вправо, після нього дивиться вниз.

Фото 1920 × 1080 влаштоване так само, тільки чисел у ньому 2 073 600. Множення такої матриці на 0,5 удвічі зменшує яскравість кожного пікселя, тобто затемнює знімок. На таких діях тримаються фоторедактори й комп'ютерна графіка. Інші приклади зібрано в статті про професії, де потрібна математика.

Вправи на розмір, елементи й дії

У шостій вправі спершу допишіть нулі на місцях відсутніх змінних, а потім перевірте, що x = 1, y = 2, z = 3 є розв'язком.

Відповіді

Якщо в першій вийшло 3 × 2 або c₂₁ = −1, ви почали зі стовпця, а не з рядка. Перший рядок A із числами 1, 2, 0 у шостій означає, що двійка при z потрапила в стовпець y, і перевірка це покаже, бо 1 + 4 = 5, а не 7.

Більше вправ на матриці

Збірник «Матриці» починається з тих самих тем, що й ця стаття, а потім переходить до множення, визначників, оберненої матриці, рангу й систем рівнянь. Відповіді до вправ зібрано в кінці, тож розв'язки можна перевірити самостійно.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Матеріал розраховано на перші тижні курсу лінійної алгебри, а всі матриці, приклади й відповіді до вправ перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• Булдигін В. В. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Навчальний посібник. Київ, ТВіМС, 2011: ela.kpi.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Статтю підготовлено 12 жовтня 2026 року. Матрицями відкривається курс лінійної алгебри на першому курсі технічних університетів.