Множення матриць рядок на стовпець. AB зазвичай не дорівнює BA

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Матриці множать рядок на стовпець. Елемент cᵢⱼ добутку AB дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B. Добуток існує лише тоді, коли кількість стовпців A дорівнює кількості рядків B, а матриця m × n (m рядків, n стовпців), помножена на матрицю n × p, дає матрицю m × p.

Наприклад, матриця з рядками 1, 2 і 3, 4, помножена на матрицю з рядками 5, 6 і 7, 8, дає рядки 19, 22 і 43, 50. У зворотному порядку виходять рядки 23, 34 і 31, 46.

Проте дещо спільне у двох добутків усе ж є. Сума чисел на головній діагоналі, від лівого верхнього кута до правого нижнього, однакова, 19 + 50 = 23 + 46 = 69. І це не збіг, так буде для будь-яких двох квадратних матриць одного розміру.

На рисунку матрицю B піднято над добутком, щоб рядок A і стовпець B перетиналися саме там, де стоїть потрібний елемент. Для c₁₂ беремо перший рядок A, числа 1 і 2, і другий стовпець B, числа 6 і 8. Перше множимо на перше, друге на друге й додаємо, 1 · 6 + 2 · 8 = 22.

Решту елементів знаходять так само, 1 · 5 + 2 · 7 = 19, 3 · 5 + 4 · 7 = 43 і 3 · 6 + 4 · 8 = 50. Поелементне множення дало б 5, 12, 21 і 32, і в перших вправах таку відповідь пишуть дуже часто. Додають і віднімають матриці справді поелементно, а множать інакше.

Таке правило зручне насамперед для систем рівнянь. Рядок коефіцієнтів 2, 3, помножений на стовпець невідомих x, y, дає ліву частину рівняння 2x + 3y. Тому всю систему записують одним рівнянням AX = B, як показано в статті про матриці та дії з ними.

За означенням кожен елемент добутку двох матриць n × n потребує n множень, а елементів n², тож разом виходить n³ множень. Для 2 × 2 це 8, для 3 × 3 уже 27, а для 100 × 100 мільйон. У 1969 році Фолькер Штрассен показав, що дві матриці 2 × 2 можна перемножити за 7 множень замість 8, ціною більшої кількості додавань, і з цієї ідеї виросли швидші способи множити великі матриці.

Спершу розміри, потім числа

Рядок A і стовпець B перемножують попарно, тому в них має бути однакова кількість чисел. Довжина рядка A дорівнює кількості стовпців A, а довжина стовпця B кількості рядків B. Внутрішні числа в записі (m × n) · (n × p) мусять збігатися, а зовнішні дають розмір добутку m × p.

Матриці 2 × 3 і 3 × 2 перемножуються в обох порядках, але AB має розмір 2 × 2, а BA розмір 3 × 3. Дві матриці 2 × 3 перемножити не можна взагалі, бо рядок першої має три числа, а стовпець другої лише два.

Я раджу перед кожним множенням виписати розміри поруч і подивитися на внутрішні числа. На це йде кілька секунд. Зате одразу видно, чи існує добуток і яку матрицю заготовити для відповіді.

Найрізкіше різниця між AB і BA видна на рядку й стовпці. Рядок 1 × 3, помножений на стовпець 3 × 1, дає одне число, 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32. Той самий стовпець, помножений на той самий рядок, дає таблицю 3 × 3 з дев'ятьма числами.

AB і BA з тих самих матриць

Для матриць зі вступу обидва добутки існують і мають розмір 2 × 2, але жоден елемент не збігся. Тому в матричних рівняннях важливо, з якого боку множити. Помножити рівність на матрицю зліва й на ту саму матрицю справа означає зробити дві різні дії.

Водночас визначники в AB і BA однакові. Визначник матриці 2 × 2, який позначають det, дорівнює добутку чисел головної діагоналі мінус добуток двох інших, і в AB, і в BA виходить 4. Це наслідок правила det(AB) = det A · det B, а в нашому прикладі det A = det B = −2. Як рахують визначники більших матриць, пояснено в статті про визначник матриці.

Що зберігається від множення чисел

Сполучний закон виконується, (AB)C = A(BC), тому в добутку кількох матриць дужки можна не ставити. Розподільний теж, але порядок множників у кожному доданку зберігають, A(B + C) = AB + AC. Одинична матриця E, з одиницями на головній діагоналі й нулями на решті місць, поводиться як число 1, AE = EA = A. При транспонуванні, коли рядки стають стовпцями, множники добутку міняються місцями, (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

Не виконується переставний закон, а разом із ним і шкільні формули скороченого множення. Квадрат суми дорівнює A² + AB + BA + B², і подвоєний добуток 2AB з'являється лише тоді, коли AB = BA. Для матриць зі вступу правильна й «шкільна» формули відрізняються на BA − AB, тобто на матрицю з рядками 4, 12 і −12, −4.

Нуль із двох ненульових множників

Матриця із чотирма одиницями, помножена на матрицю з рядками 1, −1 і −1, 1, дає нульову матрицю. Ще простіший приклад дає матриця N, у якої лише одна одиниця в правому верхньому куті. Сама N не нуль, а її квадрат N² нульовий.

Тому шкільне правило «добуток дорівнює нулю, лише коли один із множників нуль» для матриць не діє. Ламається й скорочення. Якщо матрицю з одиницями позначити A, а другу B, то AB = AO, де O нульова матриця, хоча сама B ненульова. Тобто рівність AB = AC ще не означає, що B = C. Скорочувати можна лише на матрицю, яка має обернену, а визначники всіх трьох матриць із рисунка дорівнюють нулю, тож оберненої в них немає.

Степені матриці й числа Фібоначчі

Степінь Aⁿ означає добуток n однакових квадратних матриць. У степенях матриці Q з рядками 1, 1 і 1, 0 з'являються числа Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, де кожне наступне дорівнює сумі двох попередніх. Наприклад, Q¹⁰ має рядки 89, 55 і 55, 34.

Пояснення сховане в самому правилі множення. Матриця Q, помножена на стовпець із двох сусідніх чисел a, b, дає стовпець a + b, a, тобто робить один крок послідовності. Тому Q¹⁰, помножена на стовпець 1, 0, дає 89 і 55, одинадцяте й десяте числа Фібоначчі.

Матриці, для яких AB = BA, називають переставними. Степені однієї матриці переставні між собою, Q² · Q³ = Q³ · Q² = Q⁵, а будь-яка квадратна матриця переставна з одиничною E того самого розміру. Діагональні матриці одного розміру, у яких поза головною діагоналлю стоять нулі, теж переставні, бо їхній добуток просто перемножує числа на діагоналях. Діагоналі 2, 3 і 5, −1 у будь-якому порядку дають діагональ 10, −3.

Шість добутків, які варто порахувати вручну

Перед кожним добутком спершу запишіть розміри множників і результату.

Відповіді

Матриця з рядками 2, 4 і 0, −3 у першій означає, що ви перемножили відповідні елементи, а не рядки на стовпці. Число 1 у четвертій виходить, якщо переставити множники, бо рядок 3, 2 на стовпець 1, −1 дає 3 − 2 = 1. А рядки 1, 8 і 0, 1 у п'ятій з'являються, коли до куба підносять кожен елемент окремо.

Ще добутки для самостійної роботи

Множенню в збірнику «Матриці» відведено окрему частину, і вправ на добутки там значно більше, ніж шість. Наприкінці збірника є контрольна робота й тест, які покажуть, чи тема засвоєна.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Правило множення і властивості добутку подано в обсязі першого курсу, а кожен добуток, степінь і відповідь у статті перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• Булдигін В. В. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Навчальний посібник. Київ, ТВіМС, 2011: ela.kpi.ua

Опубліковано 12 жовтня 2026 року. Множення матриць проходять у першому розділі лінійної алгебри, одразу після дій над матрицями.