Таблиця інтегралів. Шкільні рядки і ті, що з'являються на першому курсі

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Інтеграл від нуля дорівнює довільній сталій C, ∫1 dx = x + C, ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, а ∫cos x dx = sin x + C. Для степеня, крім x⁻¹, показник збільшують на одиницю й ділять на новий показник, тому інтеграл від x² дорівнює x³, поділеному на 3, плюс C. Інтеграл від одиниці, поділеної на x, дорівнює ln|x| + C, а від одиниці, поділеної на cos²x, дорівнює tg x + C. Це вісім рядків шкільної таблиці, і всі вони є в довідці НМТ-2026.

На першому курсі до них додають ще десять рядків, і серед них арктангенс. Завдяки йому число π виходить з інтеграла від звичайного дробу, без жодного кола. Інтеграл від 0 до 1 від одиниці, поділеної на 1 + x², дорівнює чверті π, тобто приблизно 0,785.

Кожен рядок перевіряють похідною правої частини. Похідна −cos x дорівнює sin x, а похідна tg x дорівнює одиниці, поділеній на cos²x, тобто це рядки таблиці похідних, прочитані навпаки. Стала C при диференціюванні зникає. Тому sin x + 7 і sin x − 0,5 теж є первісними для cos x, і на цьому побудовано завдання ЗНО-2020, розібране далі.

Першокурсникам таблицю доповнюють показниковою функцією з довільною основою, дробом із sin²x у знаменнику, тангенсом і котангенсом. Ще два рядки ведуть до обернених тригонометричних функцій.

Перший рядок узагальнює шкільний. При a = e маємо ln e = 1, і виходить знайоме ∫eˣ dx = eˣ + C. При a = 2 первісна дорівнює 2ˣ, поділеному на ln 2 ≈ 0,69, і цього рядка в довідці НМТ немає. Логарифм у знаменнику береться з похідної (2ˣ)′ = 2ˣ ln 2, а сам натуральний логарифм пояснено в статті про натуральний і десятковий логарифм.

Інтеграл від одиниці, поділеної на sin²x, дорівнює −ctg x + C, і мінус тут береться з похідної котангенса. Арктангенс і арксинус з'являються з дробів, у яких немає жодної тригонометрії. Похідна arctg x дорівнює одиниці, поділеній на 1 + x², а похідна arcsin x дорівнює одиниці, поділеній на корінь з 1 − x². Що означають ці функції, пояснено в статті про обернені тригонометричні функції.

Рядки для тангенса й котангенса теж перевіряє похідна. Похідна −ln|cos x| дорівнює sin x, поділеному на cos x, тобто tg x, а похідна ln|sin x| дорівнює ctg x.

При a = 1 перші два рядки збігаються з рядками для арктангенса й арксинуса. А при a = 3 інтеграл від одиниці, поділеної на x² + 9, дорівнює третині арктангенса від x, поділеного на 3, плюс C. Два останні рядки на першому курсі називають «високим» і «довгим» логарифмом, за виглядом запису. Їх перевіряють тим самим диференціюванням, тільки обчислення довші.

Виняток n = −1 і модуль у логарифмі

При n = −1 степеневе правило вимагало б ділити на n + 1, тобто на нуль. Показник −1 + 1 = 0 дав би x⁰ = 1, а похідна сталої дорівнює нулю, а не одиниці, поділеній на x. Цю прогалину в таблиці закриває логарифм.

Модуль у ln|x| потрібен заради від'ємних x. Одиниця, поділена на x, існує і при x < 0, а ln x там не визначений. Для від'ємних x первісною є ln(−x), і її похідна теж дорівнює одиниці, поділеній на x, бо мінус з'являється двічі й скорочується.

Графік ln|x| симетричний відносно осі y. Дотична в точці x = 2 має кутовий коефіцієнт 0,5, а в точці x = −2 він дорівнює −0,5. Це якраз значення одиниці, поділеної на x, у цих точках.

Тому інтеграл від −2 до −1 від одиниці, поділеної на x, існує і дорівнює −ln 2 ≈ −0,69. Число від'ємне, бо на цьому відрізку гіпербола лежить під віссю x.

Три правила, яких немає в довідці

Таблиця дає інтеграли лише від базових функцій. Для суми, добутку на число чи cos 3x потрібні правила.

Суму інтегрують почленно, а сталий множник виносять за знак інтеграла. Третє правило стосується лінійного аргументу kx + b. Інтеграл від f(kx + b) дорівнює F(kx + b), поділеній на k, плюс C, де F будь-яка первісна для f. Тому інтеграл від cos 3x дорівнює третині sin 3x плюс C, від e²ˣ дорівнює половині e²ˣ плюс C, а від одиниці, поділеної на 2x + 1, дорівнює половині ln|2x + 1| плюс C.

Звідки береться дріб перед первісною, показує перевірка. Похідна sin 3x дорівнює 3 cos 3x, і зайву трійку компенсує множник одна третя. У похідній число k з'являється множником, а в первісній на нього ділять.

Довідка друкує формулу, яку програма вважає профільною

Розділ «Первісна функції та визначений інтеграл» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці рівно вісім рядків шкільної таблиці, тільки показник степеня позначено α, а не n. Під таблицею надруковано формулу Ньютона-Лейбніца. Рядків першого курсу немає, як і жодного правила, тож інтеграл від cos 3x на тесті доведеться знаходити з пам'яті. Що ще є в довідці, описано в статті про довідкові матеріали НМТ з математики.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ плоских фігур». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, окремо для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Таблицю первісних і правила знаходження первісних програма відносить до рівня стандарту. Формулу Ньютона-Лейбніца винесено в колонку «Тільки профільний рівень», хоча довідка НМТ, однакова для всіх учасників, її друкує. Підказки розподілено якраз навпаки. Правил, які програма вимагає від кожного, на тесті не підкажуть, а профільну формулу підкажуть.

Число π з інтеграла від дробу

За формулою Ньютона-Лейбніца визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної на кінцях відрізка. Тож таблиця працює і тут, просто в первісну підставляють межі.

Усі три фігури намальовано в одному масштабі. Для синуса −cos π + cos 0 = 2, тож площа під однією аркою синусоїди дорівнює рівно двом квадратним одиницям. Інтеграл від 1 до e від одиниці, поділеної на x, дорівнює ln e − ln 1 = 1. Як рахувати площі фігур між кількома лініями, розібрано в статті про площу криволінійної трапеції.

У третьому прикладі знадобився рядок першого курсу. Арктангенс одиниці дорівнює чверті π, тож площа під кривою на відрізку від 0 до 1 становить приблизно 0,785. Помножте її на 4, і вийде π, хоча під знаком інтеграла немає ні кола, ні синусів.

Два завдання ЗНО, де варіант В є похідною

Завдання 11 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Показник −4 збільшуємо на одиницю й отримуємо −3. Потім ділимо на новий показник і маємо x⁻³, поділене на −3, тобто варіант Д.

Варіант В дорівнює −4x⁻⁵, а це похідна від x⁻⁴, а не первісна. Якщо ж показник зменшити на одиницю, як у похідній, і поділити на нього, тобто на −5, вийде варіант А.

Завдання 20 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Усі первісні однієї функції відрізняються лише сталою. Функція 5x⁴ + 1 відрізняється від F на 2, тому правильна відповідь Г.

Варіант В, тобто 20x³, це сама функція f, похідна від F. Функція x⁵ − x з варіанта А є первісною вже для F, а не для f. Так виходить, коли для перевірки замість похідної беруть ще один інтеграл.

Похідна від 5x⁴ − x дорівнює 20x³ − 1, а від x⁴ − 5 дорівнює 4x³, тож перевірка відкидає й Б, і Д. В обох завданнях під літерою В стоїть похідна, тобто результат протилежної дії.

Вісім рядків напам'ять, решта через похідну

Я раджу знати вісім шкільних рядків напам'ять, хоча вони й надруковані в довідці. Мінус у −cos x губиться навіть тоді, коли довідка лежить перед очима. Рядки першого курсу я б не зубрив, окрім арктангенса й арксинуса. Решту за хвилину відновлює похідна, а правило лінійного аргументу доведеться запам'ятати, бо в довідці його немає.

Шість визначених інтегралів на всю таблицю

Для кожної вправи досить таблиці й трьох правил, а межі підставляють за формулою Ньютона-Лейбніца. Третя вправа перевіряє модуль у логарифмі, а дві останні потребують рядків першого курсу.

Відповіді

Якщо в третій вийшло 1, межі підставлено у зворотному порядку, а відповідь «не існує» означає, що забуто модуль у ln|x|. Відповіді 1 і 3 у четвертій з'являються, коли третину перед sin 3x загублено або замінено множником 3. А −1 у шостій виходить, коли в рядку −ctg x губиться мінус.

Інтеграли у форматі НМТ

Безкоштовний тест «Первісна та інтеграл» складено із завдань у форматі НМТ. Запам'ятати рядки таблиці допоможуть флешкартки, а для роботи на папері є PDF-збірник з тією самою назвою. Ще 60 вправ на первісні й інтеграли з відповідями зібрано в статті про первісну й інтеграл через похідну.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання, фрагменти довідки й програми взято з документів УЦОЯО та МОН, кожен рядок таблиць перевірено диференціюванням, а відповіді обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Стаття підготовлена 12 жовтня 2026 року. Шкільні рядки таблиці наведено так, як їх надруковано в довідкових матеріалах НМТ-2026, а що міститиме довідка НМТ-2027, поки не визначено.