Таблиця похідних. Степенева і показникова функції диференціюються зовсім по-різному

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Похідна сталої дорівнює нулю, (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x², (eˣ)′ = eˣ, (sin x)′ = cos x, а (cos x)′ = −sin x. Для будь-якого степеня діє одне правило. Показник переходить у множник, а в степені стає на одиницю менше, тому (x⁵)′ = 5x⁴. Похідна ln x дорівнює одиниці, поділеній на x, а похідна tg x дорівнює одиниці, поділеній на cos²x.

З показниковою функцією так не вийде. Похідна x³ дорівнює 3x², а похідна 3ˣ дорівнює 3ˣ ln 3, і з попереднім правилом це не має нічого спільного. До того ж у довідкових матеріалах НМТ-2026 рядка для 3ˣ немає. Немає там і логарифма за довільною основою, котангенса та правила для складеної функції.

Помаранчевим позначено рядки, яких бракує в довідці. Похідні √x і x⁻¹ окремо можна не запам'ятовувати, це той самий степеневий рядок при n = 0,5 і n = −1. Наприклад, (x⁻¹)′ = −x⁻², і саме це записано в таблиці дробом.

Таблиця працює разом із правилами диференціювання. Для суми, сталого множника, добутку й частки вони є в довідці, а для складеної функції немає.

Як застосовувати кожне з них, показано на прикладах у статті про правила диференціювання. Помаранчеве правило, як і три помаранчеві рядки таблиці, на тесті доведеться згадувати без підказки.

x³ і 3ˣ схожі тільки на письмі

У степеневій функції змінна стоїть в основі, а показник сталий. У показниковій навпаки. Тому правило «показник виносимо множником і зменшуємо на одиницю» до 3ˣ не застосовують. Типова помилка полягає в тому, що пишуть (2ˣ)′ = x · 2ˣ⁻¹.

Що формула хибна, видно вже при x = −1. Вона дає −1 · 2⁻² = −0,25, тобто від'ємну похідну, ніби функція там спадає, хоча 2ˣ зростає на всій числовій прямій. Насправді (2ˣ)′ = 2ˣ ln 2. Ця похідна додатна при будь-якому x, при x = −1 вона дорівнює приблизно 0,35, а в нулі ln 2 ≈ 0,69.

При x = 3 обидві функції дорівнюють 27, і похідна куба теж дорівнює 27. Похідна 3ˣ у цій точці більша, 27 ln 3 ≈ 29,66, тож після x = 3 показникова функція виходить уперед і далі кубу вже не поступається. При x = 2 вона теж попереду, 9 проти 8, а на короткому відрізку приблизно від 2,48 до 3 попереду куб.

Ще помітніша різниця у відношенні похідної до самої функції. Похідна 3ˣ завжди приблизно на 10 % більша за саму функцію, бо ln 3 ≈ 1,0986. У куба сталого відношення немає. Похідна 3x² утричі більша за x³ при x = 1, дорівнює йому при x = 3 і становить лише половину при x = 6.

Рядок (eˣ)′ = eˣ є окремим випадком загальної формули, бо ln e = 1. Це єдина основа, за якої зайвий множник зникає. Звідки береться число e ≈ 2,718, пояснює стаття про натуральний і десятковий логарифм.

Чого бракує в довідці НМТ-2026

Розділ «Похідна функції» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці є похідні сталої, x, степеня, кореня, eˣ, ln x, синуса, косинуса й тангенса, а також правила для суми, різниці, сталого множника, добутку й частки. Похідних aˣ, logₐ x і ctg x там немає. Немає й правила для складеної функції.

Два з трьох відсутніх рядків виводяться з того, що в довідці є. Логарифм за основою a дорівнює ln x, поділеному на ln a, а сталий множник виносять за знак похідної. Котангенс є часткою косинуса й синуса. З третім рядком так не вийде.

Щоб вивести (aˣ)′, степінь записують як e в степені x ln a і диференціюють складену функцію. Саме правила для складеної функції в довідці й бракує. У програмі ЗНО з математики воно теж стоїть окремо.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, розділ «Функції». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, і в кожній частині окремі колонки для рівня стандарту й тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Таблиця похідних і правила для суми, добутку й частки належать до рівня стандарту. Правило знаходження похідної складеної функції та рівняння дотичної винесено в колонку «Тільки профільний рівень». Як складати рівняння дотичної, пояснено в статті про рівняння дотичної.

Звідси цікавий наслідок. Найкоротший шлях до рядка (aˣ)′ іде через профільне правило, тож на рівні стандарту цей рядок залишається просто пам'ятати. Чи входить він у «таблицю похідних функцій» із програми, документ окремо не уточнює.

Два завдання ЗНО-2018 на степеневе правило

Завдання 19 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Добуток тут зручніше не диференціювати, а спершу розкрити дужки. Тоді f(x) = x⁴ + x, і f′(x) = 4x³ + 1, відповідь А. Правило добутку дає те саме, 1 · (x³ + 1) + x · 3x² = 4x³ + 1.

Кожен неправильний варіант має свій хибний крок. Якщо продиференціювати лише дужку або перемножити похідні множників, 1 · 3x², вийде В. Сума похідних множників 1 + 3x² дає Г. Б з'являється, коли загублено похідну доданка x, а Д є первісною для x⁴ + x, а не похідною.

Завдання 18 із сертифікаційної роботи ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Коефіцієнт першого доданка, мінус сім шостих, множимо на показник 6 і отримуємо −7. Для другого доданка 5 · 4 = 20, а стала −14 при диференціюванні зникає. Виходить −7x⁵ + 20x³, відповідь В.

Інші варіанти показують чотири різні хибні кроки. А є первісною, у ній показник збільшили на одиницю і на нього поділили. Б виходить, якщо залишити у відповіді сталу −14. У Г показники 7 і 5 замість 5 і 3, тобто їх збільшили, а не зменшили.

У Д на показник поділили замість помножити, звідси мінус сім тридцять шостих перед x⁵. Варіанти-первісні, А тут і Д у першому завданні, ловить проста перевірка. Похідна такого варіанта дорівнює самій функції з умови. Як первісна пов'язана з похідною, пояснює стаття про первісну й інтеграл через похідну.

Що з таблиці я вивчив би напам'ять

Я раджу не зубрити всю таблицю підряд. Рядки з довідки достатньо впізнавати, а напам'ять варто знати три помаранчеві рядки і правило для складеної функції. Логарифм і котангенс можна вивести за хвилину, але на тесті цієї хвилини шкода. А для (aˣ)′ знадобиться саме те правило, якого в довідці немає.

Таблиця знадобиться не лише в завданнях, де просять знайти похідну. Через похідну шукають проміжки зростання і точки екстремуму, про це розповідає стаття про монотонність і екстремуми. А як ця тема виглядає на тесті загалом, видно з огляду похідної та інтеграла на НМТ.

Шість похідних у точці

У кожному завданні потрібне число, а не формула похідної. У п'ятому поділіть f′(0) на g′(0).

Відповіді

Відповідь 2 у другому означає, що загубилася двійка в знаменнику похідної кореня. Якщо в четвертому вийшло 4, забуто мінус у похідній котангенса, а одиниця в п'ятому з'являється, коли 4ˣ і 2ˣ диференціюють як eˣ, без множника ln a.

Ще задачі на похідну

Задачі у форматі НМТ є в безкоштовному тесті «Похідна та її зміст», а формули зручно повторювати за флешкартками. Для письмової практики є PDF-збірник і збірник «Згадати все», де 104 задачі на похідну розбито на 10 груп.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято з основної й додаткової сесій ЗНО-2018 і звірено з ключами УЦОЯО, фрагменти взято з довідки НМТ-2026 та програми ЗНО, а кожну похідну в таблицях і відповідях перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2018 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма зовнішнього незалежного оцінювання з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Перелік похідних у довідці наведено за демонстраційним варіантом НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.