Рівняння прямої на площині. У загальному рівнянні коефіцієнти при x і y дають перпендикулярний вектор

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд Ax + By + C = 0. Коефіцієнти при x і y утворюють вектор n(A; B), перпендикулярний до прямої. Його називають нормальним вектором, або нормаллю. Вектор s(−B; A) йде вздовж прямої, це напрямний вектор. Відстань від точки M(x₀; y₀) до прямої дорівнює модулю числа Ax₀ + By₀ + C, поділеному на довжину вектора n, тобто на корінь з A² + B².

Ту саму пряму можна записати з кутовим коефіцієнтом, y = kx + b, де k = tg α, а α це кут між прямою й додатним напрямом осі Ox. Є ще рівняння через точку й напрямний вектор, через дві точки, а також рівняння у відрізках, яке має вигляд x поділити на a плюс y поділити на b дорівнює 1. У ньому a і b це абсциса й ордината точок, у яких пряма перетинає осі.

Шкільний запис y = kx + b охоплює не всі прямі. Вертикальну пряму x = 2 так не запишеш, бо кутового коефіцієнта в неї немає. У загальному рівнянні це звичайний випадок A = 1, B = 0, C = −2.

На рисунку пряма 3x + 4y − 12 = 0 з нормальним вектором n(3; 4). Якщо розв'язати рівняння відносно y, вийде y = −0,75x + 3, тобто k = −0,75, і пряма спадає. При y = 0 маємо x = 4, при x = 0 маємо y = 3. Тому рівняння у відрізках має вигляд x поділити на 4 плюс y поділити на 3 дорівнює 1.

Довжина вектора n дорівнює 5, бо 3² + 4² = 25. Для початку координат підстановка в ліву частину дає −12, і відстань дорівнює 12, поділеному на 5, тобто 2,4. Для точки M(5; 5) виходить 15 + 20 − 12 = 23 і відстань 4,6. У просторі формула відстані до площини має ту саму будову, лише з третьою координатою, і в статті про рівняння площини обидві формули показано поруч.

Знаки двох підстановок різні. Вираз 3x + 4y − 12 додатний з того боку прямої, куди дивиться вектор n, і від'ємний з протилежного. Тож пряма розділяє точки O і M. Щоб це побачити, рисунок не потрібен.

Нормаль за один рядок через скалярний добуток

Точки (4; 0) і (0; 3) лежать на прямій 3x + 4y − 12 = 0, і вектор між ними має координати (−4; 3). Його скалярний добуток з вектором n(3; 4) дорівнює −12 + 12 = 0, а нульовий скалярний добуток означає, що вектори перпендикулярні. Звідки береться це правило, розповідає стаття про скалярний добуток векторів.

Для довільної прямої міркування те саме. Координати будь-яких двох її точок M₁ і M₂ задовольняють рівняння, і після віднімання вільний член C зникає. Залишається A(x₂ − x₁) + B(y₂ − y₁) = 0, тобто скалярний добуток вектора n на вектор M₁M₂ дорівнює нулю. Напрямний вектор (−B; A) вибрано так, щоб його скалярний добуток з n теж дорівнював нулю.

Вільний член на напрям прямої не впливає. Прямі 3x + 4y − 12 = 0 і 3x + 4y + 8 = 0 мають спільну нормаль, тому паралельні. Відстань між ними дорівнює 4. Це модуль різниці вільних членів, тобто 20, поділений на довжину нормалі 5.

Шість записів однієї прямої

У таблиці зліва загальний вигляд кожного рівняння, справа та сама пряма 3x + 4y − 12 = 0, а сірим під нею дані, з яких цей запис складено.

Рівняння через точку з нормаллю має вигляд A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0, де x₀ і y₀ це координати відомої точки прямої, тут (4; 0). У канонічному рівнянні в четвертому рядку l і m це координати напрямного вектора. Рівняння через дві точки є тим самим канонічним, тільки напрямний вектор у ньому одразу записано як різницю координат точок.

Кожен запис має свої межі. З кутовим коефіцієнтом не записати вертикальну пряму, а у відрізках пряму, що проходить через початок координат. Пряма 3x + 4y = 0 перетинає обидві осі в точці O і ненульових відрізків на них не відтинає.

Пряма через дві точки

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки A(1; 2) і B(4; 6).

Напрямний вектор AB дорівнює (3; 4). Щоб отримати нормаль, координати міняють місцями й в одній з них змінюють знак, виходить n(4; −3). Рівняння через точку A з цією нормаллю після розкриття дужок набуває вигляду 4x − 3y + 2 = 0. Підстановка B дає 16 − 18 + 2 = 0, і точка B справді лежить на прямій.

Напрямний вектор цієї прямої (3; 4) збігається з нормаллю прямої 3x + 4y − 12 = 0. Тому ці дві прямі перпендикулярні. Кутові коефіцієнти це підтверджують, бо добуток −0,75 на чотири третіх дорівнює −1.

Кут між прямими двома способами

Для прямих x − 2y + 3 = 0 і 3x − y − 2 = 0 кут можна знайти через нормалі або через кутові коефіцієнти.

Косинус кута між прямими дорівнює модулю скалярного добутку нормалей, поділеному на добуток їхніх довжин. Нормалі (1; −2) і (3; −1) мають скалярний добуток 5 і довжини √5 і √10, звідси косинус дорівнює 5, поділеному на √50, тобто √2, поділеному на 2. Це 45°. Тангенс того самого кута дорівнює модулю різниці кутових коефіцієнтів, поділеної на 1 + k₁k₂, і для k₁ = 0,5 та k₂ = 3 він дорівнює 1.

На рисунку кут між нормалями такий самий, як між прямими. Кожна нормаль тут отримана поворотом напрямного вектора своєї прямої на 90° за годинниковою стрілкою, тому кут зберігся. Помножимо друге рівняння на −1. Пряма не зміниться, нормаль стане (−3; 1), і кут між нормалями виросте до 135°, хоча кут між прямими залишиться 45°. Модуль у формулі косинуса потрібен, щоб відповідь від такого множення не залежала.

З тих самих формул виходять умови взаємного розміщення. Прямі паралельні або збігаються, коли коефіцієнти при x і y пропорційні, і тоді кутові коефіцієнти однакові. Перпендикулярні, коли скалярний добуток нормалей дорівнює нулю, а для кутових коефіцієнтів це умова k₁k₂ = −1. Точку перетину знаходять із системи. Наприклад, рівняння 2x − y = 1 і x + y = 5 після додавання дають 3x = 6, тож прямі перетинаються в точці (2; 3).

Я б починав із загального рівняння

Я раджу будь-яку пряму спершу зводити до вигляду Ax + By + C = 0. З нього одразу видно нормаль, напрямний вектор і відстань до будь-якої точки, і він не ламається на вертикальних прямих. Кутовий коефіцієнт зручніший для графіків. Через нього записують і дотичну до графіка з k = f′(x₀), як у статті про рівняння дотичної.

Рівняння можна помножити на будь-яке ненульове число, і пряма не зміниться, тому 3x + 4y − 12 = 0 і 6x + 8y − 24 = 0 задають ту саму пряму. Перш ніж віднімати вільні члени двох паралельних прямих, коефіцієнти при x і y треба зробити однаковими.

Пряма в шкільній програмі й на першому курсі

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Координати та вектори на площині». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності; окремі колонки для рівня стандарту і тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Рівняння прямої та кола програма вимагає вже на рівні стандарту, а серед компетентностей названо вміння складати рівняння прямої та рівняння кола. Довідка демоваріанта НМТ-2026 дає рівняння кола, а рівняння прямої в ній немає, тож його доведеться пам'ятати. Як ця тема виглядає в тестових завданнях, показано в огляді векторів і координат на НМТ.

Формули відстані від точки до прямої в програмі ЗНО немає, її вивчають уже на першому курсі. Шкільна задача зазвичай зводить таку відстань до висоти трикутника. У силабусі КПІ пряма на площині стоїть у розділі «Векторна алгебра та аналітична геометрія», одразу після скалярного, векторного й мішаного добутків. Далі йдуть криві другого порядку, і першою з них у силабусі названо еліпс.

Шість вправ на прямі й відстані

У перших двох вправах потрібне загальне рівняння з цілими коефіцієнтами, у третій числа a і b.

Відповіді до першої й другої можна помножити на будь-яке ненульове число, пряма від цього не зміниться.

Відповіді

Відповідь 3,6 у п'ятій означає, що друге рівняння не поділили на 2 і відняли вільні члени 12 і −6 як є. А 135° у шостій виходить, коли скалярний добуток нормалей, рівний −5, беруть без модуля.

Ще задачі на прямі й координати

Шкільну частину теми перевірить безкоштовний тест «Координати на площині та в просторі», перед ним можна погортати флешкартки з координат, а письмово потренуватися за PDF-збірником. Для першого курсу є наш збірник «Аналітична геометрія». Пряму на площині там розібрано на прикладах з повним розв'язком, а відповіді до вправ дано наприкінці.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Пряму на площині подано так, як її вивчають на першому курсі технічних університетів, а всі рівняння, відстані й кути в прикладах перевірено обчисленням.

Джерела

• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua

Стаття підготовлена 12 жовтня 2026 року. Що в довідці НМТ-2026 є рівняння кола й немає рівняння прямої, звірено з демонстраційним варіантом. Якою буде довідка НМТ-2027, поки не визначено.