Скалярний добуток векторів і кут між ними. Знак добутку показує, гострий кут, прямий чи тупий

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Скалярний добуток векторів a і b дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута φ між ними, a · b = |a| · |b| · cos φ. У координатах це сума добутків відповідних координат, a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Тому косинус кута дорівнює скалярному добутку, поділеному на добуток довжин. Вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли a · b = 0, а a · a = |a|².

Знак добутку видно без довжин, бо довжини завжди додатні. Добуток додатний, коли кут гострий, нуль, коли прямий, і від'ємний, коли тупий. Ненульові числа при множенні ніколи не дають нуля, а скалярний добуток двох ненульових векторів може дорівнювати нулю, як у a(2; 1) і b(−1; 2), де 2 · (−1) + 1 · 2 = 0.

Першу формулу беруть, коли відомі довжини й кут, другу, коли відомі координати. На площині третіх координат немає, і з формул зникають доданки a₃b₃, a₃² і b₃².

Один вектор a і три різні кути

Візьмемо a(2; 1) і три вектори b. Довжина a дорівнює √5, а у векторів b(1; 3) і b(−3; 1) однакова довжина √10. Для цих двох пар добуток довжин дорівнює √50 = 5√2, і різниця лише в сумі добутків координат.

Для b(1; 3) сума дорівнює 2 + 3 = 5, косинус дорівнює 5 поділити на 5√2, тобто √2 поділити на 2, і кут 45°. Для b(−3; 1) виходить −6 + 1 = −5, косинус той самий за модулем, але від'ємний, і кут 135°. Разом ці кути дають 180°, бо cos(180° − φ) = −cos φ.

Середній випадок найкоротший. Для b(−1; 2) сума −2 + 2 = 0, і довжини вже не потрібні, кут прямий. Цей вектор отримано з a(2; 1) перестановкою координат і зміною знака однієї з них. Так за секунду можна підібрати вектор, перпендикулярний до будь-якого вектора на площині.

Звідки береться сума добутків координат

Формула з координатами випливає з теореми косинусів. Відкладемо a і b від однієї точки O. Третя сторона трикутника йде від кінця b до кінця a, і це вектор a − b, як пояснено в статті про додавання і віднімання векторів.

Квадрат третьої сторони рахуємо двома способами. Теорема косинусів дає |a|² + |b|² − 2|a| · |b| cos φ, а через координати виходить сума квадратів різниць. Після розкриття дужок квадрати координат збираються в |a|² і |b|², і залишається подвоєна сума a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ зі знаком мінус. Порівнявши два записи, бачимо, що |a| · |b| cos φ дорівнює саме цій сумі.

На рисунку a(2; 1) і b(1; 3), тож a − b = (1; −2), і перевірка сходиться, 5 = 5 + 10 − 2 · 5. Теорему косинусів та інші формули трикутника зібрано в статті про формули трикутника.

Формула кута, якої немає в довідці

Розділ «Координати та вектори» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці є обидві формули скалярного добутку, через координати й через косинус кута. Є також координати вектора, його довжина й середина відрізка. Окремої формули для косинуса кута між векторами там немає, як і умови перпендикулярності.

Фрагмент програми ЗНО з математики, затвердженої наказом МОН № 1513 від 04.12.2019, рядок «Координати та вектори у просторі». Зліва зміст навчального матеріалу, справа компетентності, і в кожній частині окремі колонки для рівня стандарту й тільки для профільного рівня. Джерело: testportal.gov.ua.

Скалярний добуток і кут між векторами програма відносить до рівня стандарту. А формулу для знаходження кута між векторами, що задані координатами, та умови перпендикулярності винесено в колонку «Тільки профільний рівень». Нового в цій формулі небагато. Вона складається з двох рядків довідки, прирівняних один до одного, а умова перпендикулярності випливає з того, що cos 90° = 0. Тож і на рівні стандарту кут між векторами, заданими координатами, можна знайти, маючи перед очима лише довідку.

Коли косинус не табличний

Для a(1; 2; 2) і b(0; 3; 4) скалярний добуток дорівнює 0 + 6 + 8 = 14, а довжини 3 і 5. Косинус дорівнює чотирнадцяти п'ятнадцятим, і серед табличних значень такого немає. Тоді кут записують як арккосинус чотирнадцяти п'ятнадцятих, це приблизно 21,04°.

Від'ємний косинус дає тупий кут. Для a(3; 4) і b(−1; 0) косинус дорівнює −0,6, і φ = arccos(−0,6) ≈ 126,87°, тобто 180° − 53,13°, де 53,13° ≈ arccos 0,6. Як працює арккосинус, пояснює стаття про обернені тригонометричні функції.

Проєкція, напрямні косинуси й робота сили

Проєкція вектора a на вектор b дорівнює a · b поділити на |b|, тобто |a| cos φ. Для a(2; 1) і b(1; 3) це 5 поділити на √10, приблизно 1,58. Основа перпендикуляра з кінця a потрапляє точно в середину вектора b, бо a · b тут дорівнює половині |b|².

Якщо поділити координати вектора на його довжину, вийдуть косинуси кутів α, β, γ між вектором і осями координат, їх називають напрямними косинусами. Для a(1; 2; 2) довжина дорівнює 3, тому cos α дорівнює одній третій, а cos β і cos γ двом третім. Сума їхніх квадратів дорівнює 1 для будь-якого ненульового вектора, бо вектор, поділений на свою довжину, має довжину 1.

У фізиці скалярний добуток дає роботу сили, A = F · s. Сила F(3; 4) Н на переміщенні s(5; 0) м виконує роботу 3 · 5 + 4 · 0 = 15 Дж, хоча добуток довжин 5 · 5 = 25. Робота менша, бо сила напрямлена під кутом до переміщення, а сила, перпендикулярна до нього, роботи не виконує зовсім. Момент сили рахують уже через векторний добуток, який вивчають на першому курсі.

Три завдання ЗНО з відкритою відповіддю

Завдання 30 із сертифікаційної роботи ЗНО-2017 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Точка B лежить на прямій y = 2x, тому B(x; 2x), а вектор AB має координати (x + 2; 2x). Перпендикулярні вектори дають нульовий скалярний добуток, тобто 4(x + 2) + 3 · 2x = 0. Звідси 10x = −8 і x = −0,8.

Хто відніме −2 без дужок і запише x − 2, отримає 0,8, тобто правильну відповідь з протилежним знаком. Через рік, у ЗНО-2018, завдання 30 повторило цю схему з колінеарними векторами, і там працює вже пропорційність координат, про яку йдеться в статті про колінеарні й компланарні вектори.

Завдання 29 із сертифікаційної роботи ЗНО-2016 з математики. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Довжина вектора AB дорівнює 10, бо 6² + 8² = 100. Скалярний добуток дорівнює 10 · AD · 0,4 = 96, тож AD = 24. Діагональ BD як вектор дорівнює AD − AB, і її квадрат дорівнює AD² − 2 AB · AD + AB², тобто 576 − 192 + 100 = 484. Тому BD = 22.

Знак перед подвоєним добутком тут вирішує все. З плюсом вийде 576 + 192 + 100 = 868, а це квадрат другої діагоналі AC = AB + AD, тобто AC = 2√217 ≈ 29,46. Число правдоподібне, і в завданні з відкритою відповіддю таку помилку ніщо не видасть.

Завдання 23 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Після множення кожної координати на −2 маємо b(−4; 18; −6), а сума координат дорівнює 8. Скалярний добуток за координатами дорівнює −8 − 162 − 18 = −188. Швидше помітити, що a · (−2a) = −2|a|², де |a|² = 4 + 81 + 9 = 94, і відповідь −2 · 94 = −188.

Знак видно ще до обчислень. Вектор b напрямлений протилежно до a, кут між ними 180°, і добуток мусить бути від'ємним. У першій частині сума −8 виходить, якщо помножити на 2 замість −2, а −28, якщо помилитися зі знаком у добутку −2 на −9.

Спершу знак, потім косинус

Я раджу рахувати скалярний добуток і дивитися на його знак ще до того, як шукати довжини. Нуль одразу означає прямий кут, і далі рахувати не треба. Від'ємне число відкидає всі гострі кути серед варіантів відповіді, а в задачі з відкритою відповіддю допомагає впіймати загублений мінус. На заняттях ми часто бачимо, що косинус рахують до кінця, а вже потім згадують, що кут мав бути тупим.

Шість задач на добуток і кут

У третій задачі спершу визначте знак добутку. У шостій знадобиться той самий прийом, що й у завданні з паралелограмом.

Проєкцію в п'ятій шукайте як скалярний добуток, поділений на довжину вектора b.

Відповіді

Якщо в другій вийшло 10, загубився мінус косинуса 120°, а 60° у третій означає ту саму помилку зі знаком. Відповідь −1,5 у четвертій дає умова колінеарності замість перпендикулярності, а √19 у шостій з'являється, коли перед подвоєним добутком ставлять плюс.

Ще вправи на вектори у форматі НМТ

Задачі на вектори є в безкоштовному тесті «Вектори на площині та в просторі», а на координати в тесті «Координати на площині та в просторі». Для повторення формул є флешкартки, а для письмової практики PDF-збірник «Вектори на площині та в просторі». Які ще задачі з векторами й координатами бувають на тесті, показує огляд векторів і координат на НМТ.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2016, ЗНО-2017 і додаткової сесії ЗНО-2021 та звірено з ключами УЦОЯО, фрагменти довідки й програми наведено за документами УЦОЯО і МОН, а всі відповіді перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2017 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2017 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2016 з математики (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Дата публікації 12 жовтня 2026 року. Формули скалярного добутку наведено так, як їх подає довідка НМТ-2026, а що міститимуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.