Векторний і мішаний добутки. Площу й об'єм за координатами рахують через визначник

Андрій Стулішенко, викладач математики, засновник Math Corporation.

Векторний добуток a × b це вектор, перпендикулярний до a і до b, завдовжки |a| · |b| · sin φ, де φ кут між ними. Ця довжина дорівнює площі паралелограма на векторах a і b, а трійка a, b, a × b має бути правою. Координати рахують через визначник 3 × 3, у першому рядку якого стоять i, j, k.

Мішаний добуток (a, b, c) = (a × b) · c дорівнює визначнику з координат трьох векторів. Його модуль це об'єм паралелепіпеда на a, b, c, шоста частина модуля дає об'єм трикутної піраміди, а нуль означає, що вектори компланарні.

Від перестановки множників векторний добуток змінює напрям на протилежний, i × j = k, а j × i = −k. Переставна властивість, звична для чисел і для скалярного добутку, тут не діє.

Літерами i, j, k позначено одиничні вектори i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1) уздовж осей Ox, Oy, Oz, а |a| і |b| це довжини векторів. Трійка векторів права, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видно проти годинникової стрілки. Компланарні вектори після перенесення в одну точку лежать в одній площині. Скалярний добуток, що входить у мішаний, дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Стрілка на дузі показує найкоротший поворот від a до b. З кінця a × b його видно проти годинникової стрілки, тож трійка права. Площа трикутника на тих самих векторах удвічі менша, бо діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники.

Найпростіший випадок на осях координат

Візьмемо a(2; 0; 0) уздовж осі Ox і b(0; 3; 0) уздовж осі Oy. На них будується прямокутник 2 на 3, кут між векторами 90°, а sin 90° = 1. Тому довжина a × b дорівнює 2 · 3 = 6, тобто площі прямокутника.

Вектор, перпендикулярний до обох осей, лежить на осі Oz. Куди саме він напрямлений, вирішує права трійка. З кінця осі Oz поворот від Ox до Oy видно проти годинникової стрілки, тож a × b = (0; 0; 6).

Визначник з i, j, k у першому рядку

Визначник 2 × 2 дорівнює добутку чисел на головній діагоналі мінус добуток на побічній. Визначник 3 × 3 розкладають за першим рядком. Кожен елемент цього рядка множать на визначник 2 × 2, що лишається після викреслення його рядка і стовпця, а середній доданок беруть зі знаком мінус.

Перша координата векторного добутку дорівнює a₂b₃ − a₃b₂, друга a₃b₁ − a₁b₃, третя a₁b₂ − a₂b₁. Для прямокутника з попереднього прикладу перші дві дорівнюють нулю, а третя 2 · 3 − 0 · 0 = 6, як і має бути.

Приклад з перевіркою двома скалярними добутками

У векторів a(1; 2; 3) і b(4; 5; 6) нулів серед координат немає, тож рахувати доведеться всі три визначники 2 × 2.

Виходить a × b = (−3; 6; −3) завдовжки √54 = 3√6, і це площа паралелограма. Трикутник на тих самих векторах має площу 3√6 поділити на 2, приблизно 3,67.

Я раджу щоразу закінчувати двома скалярними добутками, як у кроках 4 і 5. Векторний добуток перпендикулярний до обох множників, тож обидві суми мусять дорівнювати нулю. Це лише шість множень. Якщо забути мінус перед другим визначником, вийде (−3; −6; −3), і перша ж перевірка дасть −3 − 12 − 9 = −24 замість нуля.

Порядок множників і цикл i, j, k

Якщо переставити a і b, у визначнику поміняються місцями два рядки, і всі три координати змінять знак. Тому b × a = −(a × b). Колінеарні вектори утворюють паралелограм нульової площі, тож a × a дорівнює нульовому вектору, як і добуток будь-яких двох колінеарних векторів.

Для одиничних векторів усе тримається на одному колі. Добуток двох сусідніх за стрілкою дає третій, i × j = k, j × k = i, k × i = j, а проти стрілки виходить той самий вектор зі знаком мінус.

У фізиці так рахують момент сили M = r × F, де вектор r іде від осі обертання до точки, у якій прикладено силу. Сила 50 Н, прикладена до ключа завдовжки 0,2 м перпендикулярно до нього, дає момент 0,2 · 50 = 10 Н·м. Напрям вектора M показує вісь, навколо якої сила обертає гайку.

Мішаний добуток і об'єм паралелепіпеда

Мішаний добуток спершу множить векторно a на b, а потім скалярно на c. Довжина a × b дає площу основи паралелепіпеда, а скалярне множення на c додає множник висоти, тобто проєкції c на напрям a × b.

Для векторів (1; 0; 0), (0; 2; 0) і (0; 0; 3) визначник дорівнює 1 · 2 · 3 = 6. Це об'єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами 1, 2 і 3. Шкільна формула V = abc дає те саме.

Знак мішаного добутку показує орієнтацію трійки. Для правої він додатний, для лівої, де поворот видно за годинниковою стрілкою, від'ємний. Перестановка двох векторів змінює знак, (j, i, k) = −1, тоді як (i, j, k) = 1. Циклічний зсув (a, b, c) → (b, c, a) знак зберігає, бо це дві перестановки поспіль.

Нуль означає нульовий об'єм, тобто компланарні вектори. Наприклад, (1; 2; 3), (4; 5; 6) і (7; 8; 9) компланарні, бо третій дорівнює подвоєному другому мінус перший. Для трьох векторів компланарність означає те саме, що лінійна залежність.

Перевірка шкільною формулою піраміди

Чи справді об'єм піраміди дорівнює шостій частині модуля мішаного добутку? Візьмемо вершини O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) і C(0; 0; 4) і порахуємо двома способами.

Мішаний добуток векторів OA, OB і OC дорівнює 24, а його шоста частина 4. Те саме дає шкільна формула об'єму піраміди. Основа OAB це прямокутний трикутник з катетами 2 і 3 і площею 3, висота OC = 4, тож об'єм дорівнює третині добутку 3 · 4 = 12, тобто знову 4.

Ця перевірка пояснює й саму шосту частину. Половина з'являється, бо трикутник становить половину паралелограма, а третина, бо піраміда займає третину призми з тією самою основою й висотою.

Місце теми на першому курсі

У шкільній програмі з математики з добутків векторів є тільки скалярний. У силабусі КПІ ім. Ігоря Сікорського з лінійної алгебри та аналітичної геометрії векторний і мішаний добутки стоять у розділі 2 одразу після скалярного, а далі той самий розділ переходить до прямих і площин.

Там векторний добуток потрібен постійно. Через три точки A, B, C проходить площина, і добуток AB × AC дає її нормальний вектор, з якого складають рівняння площини.

Шість задач на площі й об'єми

У третій задачі шукана довжина дорівнює площі паралелограма, а в п'ятій O це початок координат.

У шостій достатньо прирівняти визначник до нуля й розв'язати лінійне рівняння відносно m.

Відповіді

Відповідь (−2; 3; 1) у першій означає забутий мінус перед другим визначником, а i замість −i у другій виходить, коли k × j множать за стрілкою, а не проти неї. Числа 2√6 у четвертій і 9 у п'ятій з'являються, коли площу паралелограма не ділять на 2, а об'єм паралелепіпеда на 6.

Збірники з векторної алгебри

Більше задач на всі три добутки містить збірник «Вектори» серії «Вища математика», де для самоперевірки є ще контрольна робота й тест. Визначники 3 × 3, на яких тримаються обидва добутки, окремо відпрацьовує збірник «Матриці».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Приклади підібрано під розділ векторної алгебри із силабусу КПІ, а кожен векторний і мішаний добуток у статті перевірено обчисленням.

Джерела

• КПІ ім. Ігоря Сікорського, силабус дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» (PDF): matan.kpi.ua
• Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті. Том 1. Київ, 2018: ela.kpi.ua
• МОН України, програма ЗНО з математики, затверджена наказом № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Текст підготовлено 12 жовтня 2026 року. Векторний і мішаний добутки вивчають у першому семестрі, у розділі векторної алгебри, одразу після скалярного добутку.