Тригонометричні формули. Повний список і одна формула, з якої виводяться всі інші

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Тригонометричних формул кілька десятків, і найуживаніші з них це тотожність sin²α + cos²α = 1, добуток tg α · ctg α = 1, синус подвійного кута sin 2α = 2 sin α cos α, косинус подвійного кута cos 2α = cos²α − sin²α та косинус різниці cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Повний список розбито на сім груп за тим, що формула робить.

Остання з цих п'яти формул головна, бо з неї кількома кроками виводиться все інше. Проте в довідці НМТ-2026 її немає, як і жодної іншої формули додавання. Саму формулу доводять через відстань між двома точками одиничного кола, і це доведення займає три рядки.

Перша група пов'язує функції одного кута. Тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус, а котангенс навпаки, тому їхній добуток дорівнює 1. Друга група це формули додавання, зокрема sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β і cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Знак у косинусі завжди протилежний знаку між кутами, а приклади з кутами 45° і 30° розібрано в статті про формули додавання.

Подвійний кут виходить із формул додавання, якщо взяти β = α. Косинус подвійного кута має три записи, бо квадрат синуса чи косинуса можна замінити через основну тотожність, тож cos 2α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1. Прочитані справа наліво, ці рівності дають четверту групу. Квадрат синуса дорівнює половині різниці 1 − cos 2α, а якщо замість α підставити половину кута, вийдуть формули половинного кута.

П'ята група замінює одним правилом 32 формули зведення, по чотири функції для кожного з восьми кутів. Назва функції змінюється лише тоді, коли кут відкладають від вертикальної осі. Знак ставлять той, який має початкова функція в отриманій чверті при гострому α, і докладно це пояснено в статті про формули зведення.

Шоста й сьома групи теж не окремі факти. Якщо додати sin(α + β) і sin(α − β), отримаємо 2 sin α cos β, і це остання формула сьомої групи. Позначивши α + β = x і α − β = y, з тієї самої рівності отримаємо першу формулу шостої групи, суму sin x + sin y.

Косинус різниці з відстані між двома точками

Візьмемо на одиничному колі точки A і B, що відповідають кутам α і β. Їхні координати це косинуси й синуси цих кутів, а кут AOB дорівнює α − β.

Квадрат відстані AB рахуємо двічі. За координатами виходить 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β), бо квадрати косинуса й синуса одного кута дають у сумі одиницю. Теорема косинусів для трикутника AOB зі сторонами 1 і 1 дає 2 − 2 cos(α − β). Ліві частини однакові, тож рівні й праві, і після скорочення залишається саме формула косинуса різниці.

Чверті тут ролі не відіграють. Кут AOB може дорівнювати α − β, β − α або доповнювати різницю до 360°, але косинус у всіх цих випадках той самий.

Що виводиться з однієї формули

Кожна лінія на схемі означає одну підстановку або одну дію з двома формулами.

Заміна β на −β дає косинус суми, бо cos(−β) = cos β, а sin(−β) = −sin β. Синус суми отримують через рівність cos(90° − x) = sin x, яку дає та сама формула при α = 90°.

Якщо взяти β = α, ліворуч буде cos 0 = 1, а праворуч cos²α + sin²α, тобто основна тотожність. Вона вже була в доведенні, бо точки лежать на колі x² + y² = 1, тому ця гілка радше перевірка, ніж нове знання.

Далі все механічно. Тангенс суми це частка синуса суми й косинуса суми, у якій чисельник і знаменник поділили на cos α cos β. Подвійний кут з'являється при β = α, пониження степеня йде з косинуса подвійного кута й основної тотожності. А якщо у формулу додавання підставити β = 90° чи β = 180°, вийдуть формули зведення.

Що з цього списку дадуть на НМТ

Розділ «Тригонометрія» з довідкових матеріалів НМТ-2026. Джерело: УЦОЯО, демонстраційний варіант на testportal.gov.ua.

У довідці 13 рівностей. Це синус і косинус як координати точки одиничного кола, тангенс як частка синуса й косинуса, дві тотожності, синус і косинус подвійного кута та шість формул зведення для кутів 90° + α і 180° − α. Котангенса немає навіть у формулі зведення, там tg(90° + α) дорівнює мінус одиниці, поділеній на tg α. Немає й формул додавання, пониження степеня, половинного кута та перетворення суми на добуток.

Звідси практичне правило, яке можна перевірити за схемою вище. Формули, у яких є лише один кут (α, 2α чи половина α), виводяться з рядків довідки, якщо пам'ятати, що котангенс дорівнює косинусу, поділеному на синус. Формули з двома різними кутами без формул додавання не отримати.

Три завдання ЗНО на один рядок довідки

Кожне з наступних завдань розв'язується одним рядком довідки. Пастки побудовано на тому, як цей рядок застосовують.

Завдання 14 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Потрібен рядок sin 2α = 2 sin α cos α. До квадрата підносимо весь добуток разом із двійкою, тому sin²2x = 4 sin²x cos²x. Це варіант В. Хто піднесе до квадрата синус і косинус, а двійку залишить, вибере Г. Варіант Б виходить, коли губиться cos²x, а Д, коли квадрат переносять усередину синуса і рахують (2x)², звідки й береться sin 4x².

Завдання 14 із сертифікаційної роботи ЗНО-2020 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Тут працює рядок, за яким 1 + tg²α дорівнює одиниці, поділеній на cos²α. Множимо на sin²α й отримуємо частку sin²α та cos²α, тобто tg²α. Відповідь Д. Варіант Б з'являється, якщо замість цього рядка взяти схожу формулу для котангенса, за якою 1 + ctg²α дорівнює одиниці, поділеній на sin²α. Тоді sin²α скорочується, і залишається 1.

Завдання 10 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Сума в дужках дорівнює 1, тож чисельник дорівнює 7 − 1 = 6. У знаменнику виносимо трійку й отримуємо 3 · 1 = 3. Частка дорівнює 2, відповідь Д. Сім третіх, тобто варіант Б, отримує той, хто забув відняти одиницю, а вісім третіх, варіант В, той, хто її додав.

Які чотири формули я раджу знати напам'ять

Я раджу вивчити напам'ять синус і косинус суми та різниці, тобто чотири формули з другої групи. Усе, де є лише один кут, ви виведете з довідки. Усе, де є два різні кути, виведете з цих чотирьох формул. А от виводити косинус різниці через одиничне коло на самому тесті я б не став, на це шкода часу.

Доведення потрібне під час підготовки. Хто один раз сам порахував відстань AB, той рідше плутає знак у косинусі суми. Як закріпити формули без зубріння, описано в статті про запам'ятовування формул, а місце тригонометрії в усьому тесті показано в огляді тригонометрії на НМТ.

Шість виразів, які спрощуються до числа

Спершу визначте, до якої групи належить вираз, і лише потім рахуйте.

Значення синусів і косинусів для 30°, 45° і 60° є в таблиці значень тригонометричних функцій.

Відповіді

Відповідь 0,96 у четвертому означає, що косинус узяли додатним, хоча в другій чверті він від'ємний, а 1 у п'ятому, що 1 − cos 2α прирівняли до sin²α без двійки. Одиниця в шостому з'являється, коли суму синусів замінюють синусом суми (sin 90° = 1), а √2 + 1 у другому дає формула з плюсом у чисельнику, тобто котангенс половинного кута.

Формули на практиці

Перевірити себе на завданнях у форматі НМТ можна в безкоштовному тесті «Тригонометричні вирази». Формули зручно повторювати за флешкартками, а більше виразів на спрощення зібрано в PDF-збірнику.

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Завдання взято із сертифікаційних робіт ЗНО-2020 і ЗНО-2021, фрагмент довідки з демонстраційного варіанта НМТ-2026, а кожну формулу зі списку та відповіді до вправ перевірено символьним обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, демонстраційний варіант НМТ-2026 з математики з відповідями й довідковими матеріалами (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2020 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, додаткова сесія (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал підготовлено 7 жовтня 2026 року. Рядки довідки наведено за демонстраційним варіантом НМТ-2026, а якими будуть довідкові матеріали НМТ-2027, поки не визначено.