Задачі на суміші й сплави, у яких стежать не за всією сумішшю, а за чистою речовиною

Матеріал підготували викладачі Math Corporation. Редактор: Андрій Стулішенко.

Концентрація речовини дорівнює її масі, поділеній на масу всієї суміші. Якщо в 500 г розчину 150 г солі, концентрація дорівнює 0,3, тобто 30 %. У задачах на суміші й сплави стежать саме за чистою речовиною. Коли доливають воду або вода випаровується, маса солі не змінюється, змінюється лише маса розчину, а коли змішують два розчини, маси солі додаються.

На цьому тримається задача, відповідь до якої зазвичай дивує. Візьмімо 40 кг свіжих грибів, у яких 90 % води, і висушимо їх так, щоб вода становила 20 % маси. Гриби важитимуть лише 5 кг, і з 36 кг води випарується 35.

Таблиця з трьох рядків

Умову задачі на суміші зручно записати в таблицю. У першому рядку маса суміші m, у другому концентрація p десятковим дробом, у третьому маса речовини, яка дорівнює добутку m · p. Стовпчиків стільки, скільки сумішей беруть, і ще один для того, що вийшло.

Наприклад, до 500 г 30-відсоткового розчину солі доливають воду, доки концентрація не знизиться до 20 %. Скільки води потрібно?

Солі у воді немає, тому в стовпчику води концентрація 0. Додавати можна лише перший і третій рядки, де стоять маси. Концентрації додавати не можна. Якби було можна, 30 % плюс 0 % дали б 30 %, хоча після доливання води розчин слабшає.

З третього рядка виходить, що 500 + x = 750, тож води потрібно 250 г. Інтуїція тут підказує інше. Концентрація впала з 30 до 20 %, на третину, і хочеться долити третину маси, близько 167 г. Але сіль та сама, тому маса розчину мала зрости в півтора раза, а для цього води треба взяти половину початкової маси.

Зі сплавами все так само, тільки замість солі метал. Каблучка 585 проби на 58,5 % складається із золота, тож у каблучці масою 4 г чистого золота 2,34 г, а решта 1,66 г припадає на інші метали.

Гриби, які після сушіння важать у вісім разів менше

Під час сушіння випаровується вода, а суха частина грибів лишається. У свіжих грибах вона становить 10 %, тобто 4 кг. Після сушіння ті самі 4 кг становлять уже 80 % маси, бо води лишилося 20 %. Тому вся маса дорівнює 4 кг, поділеним на 0,8, а це 5 кг.

Звична помилка починається з віднімання відсотків. 90 % мінус 20 % дає 70 %, від 40 кг віднімають 70 % і отримують 12 кг. Так рахувати не можна, бо 90 % і 20 % взято від різних мас, від 40 кг і від 5 кг. Як змінюється відсоток, коли змінюється база, пояснює стаття про те, на скільки відсотків одне число більше за інше.

Два розчини в одній посудині

Змішаємо 200 г 10-відсоткового розчину й 100 г 40-відсоткового. Солі в них 20 г і 40 г, разом 60 г на 300 г суміші, а це 20 %. Не 25 %, як дало б середнє арифметичне, бо слабкого розчину взяли вдвічі більше.

Концентрація суміші завжди лежить між концентраціями складників і ближча до концентрації того розчину, якого взяли більше. Таке середнє називають зваженим, а звичайне середнє, медіану й моду ми розбирали окремо.

Обернену задачу, де треба знайти, у якому відношенні змішувати, швидко розв'язує правило хреста. Ліворуч пишуть концентрації двох розчинів, у центрі ту, яку треба отримати, а праворуч різниці по діагоналях. Число в рядку кожного розчину показує, скільки частин цього розчину брати.

Для 20 % з 10-відсоткового й 40-відсоткового розчинів виходить 20 частин першого на 10 частин другого, тож першого треба вдвічі більше. Це той самий приклад, що й вище, прочитаний навпаки. Під хрестом видно, звідки правило береться. Масу солі до й після змішування прирівнюють, і кожна маса множиться на відстань від своєї концентрації до потрібної.

Концентрат, вода й ароматична рідина в ЗНО-2021

Відсотків у цій задачі немає, але спосіб той самий. Стежимо не за всім розчином, а за кожним складником окремо.

Завдання 26 із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 з математики, основна сесія. Джерело: УЦОЯО, testportal.gov.ua.

Нехай одна частина важить t грамів. Тоді концентрату 2t, води 7t, а ароматичної рідини 0,7t, бо її вдесятеро менше, ніж води. Разом 9,7t = 485, звідки t = 50, і концентрату потрібно 100 г, як і в ключі УЦОЯО.

Без десяткових дробів можна так. Помножимо всі частини на 10 і отримаємо 20 частин концентрату, 70 води й 7 ароматичної рідини, разом 97. На одну частину припадає 5 г, бо 97 · 5 = 485, а на концентрат 20 частин, 100 г.

Варіантів відповіді в цьому завданні немає, тож про помилку можна здогадатися лише з самого числа. Хто забуде про ароматичну рідину, візьме дві дев'ятих від 485 і отримає близько 107,8 г. Хто додаватиме по 1 г на кожні 10 г концентрату й води разом, отримає t ≈ 48,99. Неціле число з нескінченним десятковим дробом у такій задачі майже завжди означає, що умову прочитано не так.

У програмі ЗНО, за якою укладають і НМТ, таких задач окремим рядком не названо. Вони входять до основних задач на відсотки й до задач на пропорційний поділ, а задача про концентрат саме на пропорційний поділ.

Що я записую першим рядком

Я раджу починати розв'язання не з рівняння, а з одного речення про те, що в задачі не змінюється. Під час розведення це маса солі, під час сушіння маса сухої речовини. Коли змішують, незмінною лишається загальна маса речовини, і вона дорівнює сумі двох доданків. Після цього рівняння складається майже саме.

Частіше буває навпаки. Учень одразу множить відсотки на маси, плутає, від якої маси брати відсоток, і отримує число, яке нема з чим звірити. Таблиця з трьох рядків займає хвилину, зате кожна її клітинка має зрозумілий зміст.

Шість задач, від розчинів до кавунів

Відсоток у дужках означає частку речовини, а якщо поруч стоїть H₂O, то частку води. Мінус у другій задачі означає, що 150 г води випарували. П'ята задача про кавуни, у яких 99 % води, а в шостій Cu позначає мідь.

Відповіді

Якщо в третій задачі вийшло 32,5 %, ви взяли звичайне середнє концентрацій замість зваженого. А 99 кг у п'ятій виходять, якщо вважати, що маса зменшилася на 1 %. Насправді частка сухої речовини зросла з 1 % до 2 %, тобто вдвічі, тож і маса зменшилася вдвічі.

Як знаходити відсоток від числа і число за його відсотком, пояснює стаття про відсотки. Інші типи текстових задач з НМТ зібрано в статті про текстові задачі, а дії з десятковими дробами, без яких тут не обійтися, повторює стаття про операції з дійсними числами.

Що порозв'язувати далі

Відсотки й пропорції, на яких тримаються всі ці задачі, можна потренувати в безкоштовному тесті «Відношення, пропорції та відсотки» і на колоді флешкарток до цієї теми. Для довшої практики є тренажер «Відсотки».

Про автора

Андрій Стулішенко, PhD, асистент кафедри електромеханіки КПІ ім. Ігоря Сікорського, засновник навчального центру Math Corporation. Готуємо до НМТ з 2016 року. Задачу про концентрат узято із сертифікаційної роботи ЗНО-2021 на testportal.gov.ua і звірено з ключем УЦОЯО, а приклади з розчинами, грибами й сплавами та всі вправи перевірено обчисленням.

Офіційні джерела

• УЦОЯО, сертифікаційна робота ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• УЦОЯО, правильні відповіді ЗНО-2021 з математики, основна сесія (PDF): testportal.gov.ua
• Програма ЗНО з математики, наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 (PDF): testportal.gov.ua

Матеріал опубліковано 6 жовтня 2026 року. Основні задачі на відсотки та пропорційний поділ входять до програми, на яку спирається НМТ, а які зміни чекають на НМТ-2027, поки невідомо.